Hans Walser, [20080214b]

Ecktransversalen im Dreieck

1        Eingangsbeispiel

In einem Dreieck werden alle drei Seiten gedrittelt und dann die Ecktransversalen gemŠ§ Figur eingezeichnet.

Ecktransversalen

Dann entsteht in der Mitte ein Dreieck, dessen FlŠche  der gro§en DreiecksflŠche ist.

Das Problem soll zum ersten Mal 1912 in St. Petersburg in einer Prźfung gestellt worden sein (vgl. [Alexanderson/Ross 2007], S. 279).

2        Lšsung im Dreiecksraster

Wir betten das kleine Dreieck in einen Dreiecksraster ein.

Dreiecksraster

Dann sehen wir, dass das gro§e Dreieck genau 7 kleine Dreiecke enthŠlt. Aus Symmetriegrźnden kšnnen wir nŠmlich die Teile na und nb, , jeweils zu einem kleinen Dreieck zusammenfźgen.

3        Rechnerische Lšsung und Verallgemeinerung

Das Problem ist affin invariant, wir kšnnen uns also auf ein regulŠres Dreieck in der angegebenen Disposition beschrŠnken.

Standardisierte Version

Das Dreieck hat die Eckpunktskoordinaten . Wir fźhren nun ein allgemeines TeilverhŠltnis  ein. Im Eingangsbeispiel war .

Die Idee ist nun folgende: Das kleine Dreieck ist wiederum ein regulŠres, der Abstand der Transversale  ist der Inkreisradius dieses Dreiecks. Damit sind die FlŠchenverhŠltnisse berechenbar.

 Die Transversale  hat die Gleichung:

und damit die Hessesche Normalform:

Fźr den Abstand vom Ursprung und damit fźr den Inkreisradius  des kleinen Dreieckes erhalten wir daraus:

Das gro§e Ausgangsdreieck hat den Inkreisradius ; das RadienverhŠltnis ist also:

und das FlŠchenverhŠltnis  das Quadrat davon:

Beispiele:

Weiter ist:

Dies ist auch geometrisch klar.

Funktionsgraf:

Literatur:

[Alexanderson/Ross 2007]    Alexanderson, Gerald L. and Peter Ross: The Harmony of the World.  75 Years of Mathematics Magazine. The Mathematical Association of America. 2007. ISBN 978-0-88385-560-7