Hans Walser, [20160703]

Eckiger Hippokrates

1     Worum geht es?

Es wird ein FlŠchensatz gezeigt, der eine spezielle Verallgemeinerung der ăMšndchen des HippokratesŇ darstellt. Der FlŠchensatz gestattet einen Zerlegungsbeweis.

2     AbŠnderung der Pythagoras-Ikone

In der Regel werden bei der Pythagoras-Ikone die drei Quadrate nach au§en angesetzt. Wir setzen nun das Hypotenusenquadrat nach innen an (Abb. 1).

Abb. 1: AbgeŠnderte Pythagoras-Ikone

Die linke obere Ecke des Hypotenusenquadrates liegt tatsŠchlich auf einer Seite des linken Kathetenquadrates.

3     Ein FlŠchensatz

Die rot bemalten FlŠchen sind zusammen gleich gro§ wie die blau bemalten FlŠchen (Abb. 2).

Abb. 2: Rot = Blau

Beweis: Es ist:

 

                                         Hypotenusenquadrat = Wei§ plus Rot

                                  Kathetenquadrate zusammen = Wei§ plus Blau

 

Da nach dem Satz des Pythagoras die Kathetenquadrate zusammen gleich gro§ sind wie das Hypotenusenquadrat, ist Rot gleich Blau.

Fźr Verallgemeinerungen siehe (Heinrich / Schmitz / Walser, 1999).

4     Zerlegungsbeweis

Wir zeigen hier einen einfachen Zerlegungsbeweis (Abb. 3).

Abb. 3: Zerlegungsbeweis

5     Fźnfecke

Anstelle von Quadraten setzen wir regelmŠ§ige Fźnfecke an (Abb. 4).

Abb. 4: RegelmŠ§ige Fźnfecke

Wieder entsteht nach (Heinrich / Schmitz / Walser, 1999) ein FlŠchensatz (Abb. 5).

Abb. 5: Rot = Blau

Wir kšnnen wieder wie oben mit den Quadraten argumentieren, da der Satz des Pythagoras auch fźr angesetzte regelmŠ§ige Fźnfecke gilt.

Ich habe keinen schšnen Zerlegungsbeweis gefunden.

 

Literatur

Heinrich, Frank / Schmitz, Michael / Walser, Hans (1999): Verallgemeinerungen der ŇMšndchen des HippokratesÓ. MNU Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 52/5, 1999, 264-270.