Hans Walser, [20141211]

Eckige Spirale

1     Rekursive Definition mit Crossprodukt

Wir definieren eine Vektorfolge rekursiv wie folgt:

Startvektoren:

,

 

 

 

Rekursion (Erinnerung an die Fibonacci-Rekursion):

 

Wir erhalten der Reihe nach:

, , , ,

 

 

 

Wir erhalten eine periodische Folge mit der PeriodenlŠnge 3:

 

Die Abbildung 1 zeigt die ersten neun Vektoren der Folge als Vektorzug. Der schwarze Einheitswźrfel ist zur rŠumlichen Orientierung eingezeichnet.

 

Abb. 1: Vektorzug

 

Die Vektoren bilden eine eckige Spirale mit Rechtsgewinde.

Die Spirale lŠuft auf einem Dreikant mit einem gleichseitigen Dreieck als Querschnitt (Abb. 2).

 

Abb. 2: Dreikant

 

2     Modellierung mit Wźrfeln

2.1    KantenlŠnge zwei

Die Abbildung 3 zeigt eine Modellierung mit Wźrfeln. Dabei sind in jeder Richtung jeweils zwei Wźrfel verwendet worden. Die Vektoren der Abbildung 2 verlaufen jeweils von Wźrfelmitte zu Wźrfelmitte. Sie sind also gleich lang wie die Wźrfelkante.

 

Abb. 3: Modellierung mit Wźrfeln

 

Die Abbildung 4 zeigt das Foto eines entsprechenden Papiermodells (Flechtmodell).

 

Abb. 4: Papiermodell

 

Die Spiralachse verlŠuft durch die Wźrfel hindurch.

2.2    KantenlŠnge vier

2.2.1   Eine Spirale

Damit die Spiralachse nicht durch die Wźrfel verlŠuft, muss mit KantenlŠnge vier gearbeitet werden (Abb. 5). Die Vektoren sind gleich lang wie die dreifache Wźrfelkante.

 

 

Abb. 5: Spiralachse

 

Die Spiralachse (rot in Abbildung 5) geht haarscharf an den Wźrfeln vorbei.

2.2.2   Zwei Spiralen

Nun kann auch noch eine zweite kongruente Spirale eingefźgt werden (Abb. 6). Sie ist gegenźber der ersten Spirale um 120ˇ verdreht.

 

Abb. 6: Zwei Spiralen

 

2.2.3   Drei Spiralen

Schlie§lich kann auch eine dritte Spirale eingebaut werden (Abb. 7). Im Innern der Figur hat es wźrfelfšrmige HohlrŠume, in denen die Spiralachse durchgeht. Solche HohlrŠume sind in der Abbildung 6 erkennbar.

 

Abb. 7: Drei Spiralen

 

Die drei Spiralen sitzen fest ineinander.

Die Abbildung 8 zeigt ein Papiermodell.

 

Abb. 8: Papiermodell

 

Da die drei Spiralen fest ineinander sitzen, mussten sie vor Ort gleichzeitig aufgebaut werden.

3     DNA

Die Abbildung 6 mit den zwei um 120ˇ verdrehten Spiralen erinnert an die DNA-Spirale (Abb. 9).

 

Abb. 9: DANN

 

Auch hier kšnnte rein geometrisch eine dritte Spirale eingefźgt werden (Abb. 10).

 

Abb. 10: Dritte Spirale