1 Worum geht es?

In einem affin-regulären Fünfeck fallen der Ecken- und der Flächenschwerpunkt zusammen. Die Umkehrung gilt nicht, Gegenbeispiel dazu.

2 Gegenbeispiel

Wir arbeiten mit dem Fünfeck A(–1, 0), B(–1, –1), C(1, –1), D(1, 0), E(0, h) (Abb. 1).

Abb. 1: Fünfeck

3 Eckenschwerpunkt

Für den Eckenschwerpunkt Q finden wir:

4 Flächenschwerpunkt

Zur Berechnung des Flächenschwerpunktes T zerlegen wir das Fünfeck ABCDE in das Rechteck ABCD und das Dreieck ADE (Abb. 2).

Abb. 2: Zerlegung

Das Rechteck hat den (Flächen-)Schwerpunkt R(0, –1/2) den Flächeninhalt 2. Das Dreieck hat den Schwerpunkt S(0, h/3) und den Flächeninhalt h. Für den Flächenschwerpunkt T des Fünfeckes finden wir:

5 Zusammenfallen der Schwerpunkte

Für das Zusammenfallen von Eckenschwerpunkt Q und Flächenschwerpunkt T ergibt sich die Bedingung:

Diese Gleichung lässt sich umformen zur quadratischen Gleichung

Die positive Lösung ist:

Die Abbildung 3 zeigt das zugehörige Fünfeck. Der gemeinsame Schwerpunkt ist rot eingezeichnet.

Abb. 3: Eckenschwerpunkt gleich Flächenschwerpunkt

Das Fünfeck ist nicht affin regulär, da zum Beispiel die Diagonale BD nicht parallel zur Seite AE ist.

Weblinks

Jörg Meyer: Die Schwerpunkte eines konvexen ebenen Fünfecks

http://mathematik-meyer.de/Materialien/SchwP_5Eck.pdf

Jörg Meyer: Die Schwerpunkte eines konvexen ebenen Vierecks

http://mathematik-meyer.de/Materialien/SchwP_4Eck.pdf

Hans Walser: Flächenschwerpunkt

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Flaechenschwerpunkt/Flaechenschwerpunkt.html

Literatur

Stoll, E. (1880): Ueber den Schwerpunkt des Vierecks. In: Archiv Math. Phys. (Grunerts Archiv) 65 (1880), S. 445 f.

Walser, H. (2012): Schwerpunkt. Mathematikinformation, 57, 14-22. ISSN 1612-9156.