Hans Walser, [20180511]

Drachenkšrper

Anregung: Werner Blum, Braunschweig

1     Worum es geht

Ausgehend vom WŸrfel werden mit der immer gleichen Technik zuerst das Rhombendodekaeder und anschlie§end der DeltoidvierundzwanzigflŠchner (Adam/Wyss 1994, S. 76) erarbeitet. Dabei spielen KantenberŸhrkugeln eine zentrale Rolle.

Die SeitenflŠchen sind Drachenvierecke.

2     WŸrfel

Wir arbeiten mit dem WŸrfel mit den Eckpunktkoordinaten  (Abb. 1a).

Abb. 1: WŸrfel und Kantenmittenkugel

Der WŸrfel hat eine Kantenmittenkugel (Abb. 1b) mit dem Radius . Die zwšlf BerŸhrpunkte der Kantenmittenkugel  mit den WŸrfelkanten sind die Ecken eines Kuboktaeders.

Die quadratischen SeitenflŠchen des WŸrfels sind SonderfŠlle von Drachenvierecken. Wir kšnnen den WŸrfel also als Sonderfall eines Drachenkšrpers verstehen, eines Polyeders also, das von kongruenten Drachenvierecken begrenzt ist.

3     Rhombendodekaeder

3.1    Konstruktion

Wir zeichnen nun die zwšlf Tangentialebenen an die Kantenmittenkugel, welche diese in den BerŸhrpunkten mit den WŸrfelkanten berŸhren. Diese zwšlf Tangentialebenen begrenzen ein Rhombendodekaeder. Die Kantenmittenkugel des WŸrfels ist nun die Inkugel des Rhombendodekaeders.

Die Abbildung 2a zeigt einen berŸhrenden Rhombus, die Abbildung 2b drei weitere.

Abb. 2: Tangentiale Rhomben

Die Abbildung 3a zeigt das fertige Rhombendodekaeder. Es kann auch als Sonderfall eines Drachenkšrpers gesehen werden.

Abb. 3: Rhombendodekaeder. KantenberŸhrkugel

Das Rhombendodekaeder hat 14 Eckpunkte. Acht davon sind die ehemaligen WŸrfelecken mit den Koordinaten , die sechs zusŠtzlichen Ecken haben die Koordinaten .

Das Volumen des Rhombendodekaeders ist doppelt so gro§ wie das Volumen des StartwŸrfels.

Das Rhombendodekaeder hat eine KantenberŸhrkugel mit dem Radius  (Abb. 3b). Die BerŸhrpunkte auf den Kanten dritteln diese.

3.2    Ein nichtarchimedischer und ein archimedischer Kšrper

Die BerŸhrpunkte auf den Kanten sind die Ecken eines Kšrpers mit sechs Quadraten (rot in Abb. 4a), acht gleichseitigen Dreiecken (zyan in Abb. 4a) und zwšlf Rechtecken mit dem SeitenverhŠltnis  (DIN-Format, vgl. Walser 2013) (gelb in Abb. 4a).

 

Abb. 4: Verschiedene SeitenflŠchen

Die gelben Seitenrechtecke liegen in den Seitenrhomben des Rhombendodekaeders (Abb. 4b).

Dieser Kšrper der Abbildung 4a gehšrt nicht zu den archimedischen Kšrpern.

Hingegen gibt es einen verwandten archimedischen Kšrper, das Rhombenkuboktaeder (Abb. 5a, vgl. Adam/Wyss 1994, S. 57, Abb. C).

Abb. 5: Rhombenkuboktaeder

Das Rhombenkuboktaeder ist berandet von 18 Quadraten (sechs roten und zwšlf blauen in Abb. 5a) sowie acht gleichseitigen Dreiecken. Die blauen Quadrate liegen ebenfalls in den Seitenrhomben des Rhombendodekaeders (Abb. 5b).

3.3    Bemerkungen

a) Die Tangentialebenen an die Kantenmittenkugel sind auch die Šu§eren Winkelhalbierendenebenen der Diederwinkel des WŸrfels.

b) Dasselbe Spielchen ginge auch mit einem Oktaeder und seiner Kantenmittenkugel als Ausgangsfigur. Allerdings kann das Oktaeder nicht als Sonderfall eines Drachenviereckes gesehen werden.

4     DeltoidvierundzwanzigflŠchner

Nun geht das Spielchen weiter. Wir zeichnen nun die 24 Tangentialebenen an die KantenberŸhrkugel des Rhombendodekaeders, welche diese in den BerŸhrpunkten mit den Rhombendodekaederkanten berŸhren. Die Abbildung 6a zeigt ein Beispiel. Diese Ebenen sind auch die Šu§eren Winkelhalbierendenebenen der Diederwinkel des Rhombendodekaeders.

Diese 24 Tangentialebenen begrenzen einen DeltoidvierundzwanzigflŠchner (Abb. 6b). Die SeitenflŠchen sind Drachenvierecke (Deltoide). Die KantenberŸhrkugelkugel des Rhombendodekaeders ist nun die Inkugel des DeltoidvierundzwanzigflŠchners.

Abb. 6: DeltoidvierundzwanzigflŠchner

Der DeltoidvierundzwanzigflŠchner hat 26 Eckpunkte. ZunŠchst die acht ehemaligen WŸrfelecken mit den Koordinaten  und die zusŠtzlichen sechs Eckpunkte des Rhombendodekaeders mit den Koordinaten . Neu kommen dazu die zwšlf Eckpunkte mit den Koordinaten , , .

Das Volumen des DeltoidvierundzwanzigflŠchners betrŠgt  des Volumens des Rhombendodekaeders und  des WŸrfelvolumens.

Die Abbildung 7 zeigt ein Seiten-Drachenviereck mit Verma§ung gemŠ§ unserer Wahl des Kooridnatensystems, die Abbildung 8 eine Abwicklung.

Abb. 7: Drachenviereck

Abb. 8: Abwicklung

Die Abbildung 9 zeigt einen der sechs fŸr das Flechtmodell benštigten Streifen. Jeder Streifen besteht aus acht Drachenvierecken plus zwei †berlappungseinheiten.

Im Anhang findet sich Schnittmuster fŸr zwei Streifen.

Die Abbildung 10 zeigt das Flechtmodell. Es genŸgen drei Farben, eine Farbe fŸr je zwei Streifen.

Abb. 9: Streifen fŸr Flechtmodell

Abb. 10: Flechtmodell

5     Geht es weiter?

Der DeltoidvierundzwanzigflŠchner hat keine KantenberŸhrkugel. Zwar gibt es eine Kugel, welche alle langen Kanten der Drachenvierecke berŸhrt (Abb. 11a) und eine zweite Kugel, welche alle kurzen Kanten der Drachenvierecke berŸhrt (Abb. 11b).

Abb. 11: Keine ganzheitliche KantenberŸhrkugel

Wenn wir gleichwohl mit Tangentialebenen in den BerŸhrpunkten arbeiten, ergeben sich wieder Drachenvierecke. Diese sind aber nicht mehr alle kongruent.

6     Variante

Ausgehend vom regulŠren Ikosaeder oder dem regulŠren Dodekaeder ergibt sich mit der Kantenmittenkugel das Rhombentriakontaeder. Dieses hat eine KantenberŸhrkugel, womit wir zu einem Drachenkšrper gelangen kšnnen.

 

Literatur

Adam, Paul und Wyss, Arnold (1994): Platonische und Archimedische Kšrper, ihre Sternformen und polaren Gebilde. 2. Auflage. Bern: Verlag Paul Haupt. ISBN 3-258-04943-2.

Walser, Hans (2013): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2013. ISBN 978-3-937219-69-1.

Anhang