Hans Walser, [20080910a]

Doppelter Schnittpunkt

1        Der Schnittpunkt

Wir beginnen mit einem Sehnensechseck  mit der Eigenschaft, dass die an einer Ecke  ansto§enden Seiten jeweils gleich lang sind, also:

Dann haben die drei Geraden , einen gemeinsamen Schnittpunkt P (Abb. 1).

Abb. 1 Sechseck und Schnittpunkt

Dieser Schnittpunkt P kann auf zwei Arten als ăbesonderer PunktŇ gesehen werden.

2        Inkreismittelpunkt

Im Dreieck  ist der Punkt P der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, also der Inkreismittelpunkt (Abb. 2).

Abb. 2 Inkreismittelpunkt

Die Winkel  und  sind nŠmlich Peripheriewinkel Ÿber gleich langen Sehnen und daher gleich gro§. Die Gerade  halbiert also den Dreieckswinkel bei . Entsprechendes gilt fŸr die beiden anderen Geraden.

Damit ist auch bewiesen, dass die drei Geraden , tatsŠchlich kopunktal sind.

3        Hšhenschnittpunkt

Die Abbildung 3 lŠsst vermuten, dass der Schnittpunkt P der Hšhenschnittpunkt im Dreieck  ist.

Abb. 3 Hšhenschnittpunkt

Dies ist tatsŠchlich der Fall.

Die Winkel  und  sind als Peripheriewinkel Ÿber gleich langen Sehnen gleich gro§; dasselbe gilt fŸr die Winkel  und . Die beiden Dreiecke  und  sind daher spiegelbildlich bezŸglich der Seite . Somit steht die Gerade , also die Gerade , senkrecht auf der Seite  und ist eine Hšhe des Dreieckes . Analog fŸr die beiden anderen Geraden.