Hans Walser, [20240128]
Dodekaeder-Transformation
1
Transformation
Die Abbildung 1 zeigt eine Folge von
Dodekaedern.
Abb. 1:
Dodekaeder-Transformation
2
Drehen um
Würfelkanten
Die Idee dabei ist,
dass wir an die zwölf Kanten eines Würfels Ebenen mit gleichem Neigungswinkel
gegenüber den Würfelseiten anlegen.
3
Rhombendodekaeder
Wir beginnen mit
einem Winkel von 45° (Abb. 2).
Abb. 2: Winkel
von 45°
Dies führt zum
Rhombendodekaeder (Abb. 3 und 4).
Abb. 3:
Rhombendodekaeder mit Würfel
Abb. 4:
Rhombendodekaeder ohne Würfel
4
Regelmäßiges
Dodekaeder
Nun verkleinern wir
den Neigungswinkel auf arctan(1/Φ) ≈ 31.717°. Dabei ist Φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618 der Goldene Schnitt.
Damit erhalten wir
das regelmäßige Dodekaeder (regelmäßiges Pentagondodekaeder) (Abb. 5). Das
regelmäßige Dodekaeder ist einer der fünf platonischen Körper.
Abb. 5:
Regelmäßiges Dodekaeder
5
Würfel
Wird der
Neigungswinkel auf 0° verkleinert, entsteht ein Würfel (Abb. 6).
Abb. 6: Würfel
mit geschlossenen Fensterläden
6
Halbreguläres
Dodekaeder
Nun verkleinern wir
den Neigungswinkel weiter auf –arctan(1/ Φ) ≈ –31.717°. Es entsteht das halbreguläre
Dodekaeder (Kemper-Stern) (Abb. 7).
Abb. 7:
Halbreguläres Dodekaeder
7
Raumdiagonalen
Bei einem
Neigungswinkel von –45° bleiben nur die Raumdiagonalen des Würfels übrig (Abb. 8).
Abb. 8:
Raumdiagonalen des Würfels
8
Ikosaederstern
Bei einem
Neigungswinkel von –arctan(Φ) ≈ –58.283° ergibt sich der sogenannte Ikosaederstern
(manchmal auch als großes Dodekaeder bezeichnet) (Abb. 9). Dies ist einer der
vier Poinsot-Körper. Er hat Selbstdurchdringungen. Die
zwölf Seitenflächen sind regelmäßige Pentagramme.
Abb. 9: Ikosaederstern