Hans Walser, [20111226a]

DIN-Format und Pythagoras

Es wird die Idee der pythagoreischen Dreiecke mit dem DIN-Format kombiniert.

1 Einstieg

Ein jedermann im Lande kennt die Abbildung 1.

Abb. 1: Pythagoreisches Dreieck

Die kleinen Zählquadrate können durch Zählrechtecke im DIN-Format (also mit dem Seitenverhältnis ) ersetzte werden. Das geht sogar auf zwei Arten (Abb. 2).

Abb. 2: Zählrechtecke

Die beiden Kathetenrechtecke und das Hypotenusenrechteck haben dann auch das DIN-Format. Wenn wir die Zählrechtecke abzählen, ist immer noch , und das rechtwinklige Dreieck hat seine Form nicht verändert. Allerdings passen die Kathetenrechtecke nicht in einen gemeinsamen Raster. Das liegt daran, dass eine irrationale Zahl ist.

Die nahe liegende Idee, den Quadratraster der Abbildung 1 affin zu verzerren, funktioniert nicht (Abb. 3). Die Kathetenrechtecke liegen nun zwar im selben Raster, aber das Hypotenusenviereck ist ein Parallelogramm.

Abb. 3: Affine Verzerrung

Trotzdem können wir quasipythagoreische Dreiecke in einem Rechtecksraster finden.

2 DIN-Raster

Wir arbeiten in einem Rechtecksraster, dessen Rechtecke das Seitenverhältnis haben. Solche Raster können im „Hochformat“ oder im „Querformat“ vorliegen. In beiden Fällen ist es jedoch möglich, quasipythagoreische rechtwinklige Dreiecke einzupassen (Abb. 4). Die Ecken der rechtwinkligen Dreiecke sind Rasterpunkte, ebenso die Ecken der beiden Kathetenrechtecke und des Hypotenusenrechtecks.

Abb. 4: Quasipythagoreische rechtwinklige Dreiecke im DIN-Raster

Die beiden Dreiecke sind kongruent. Der Querformatraster (Abb. 4b) ist aus dem Hochformatraster (Abb. 4a) durch Halbieren der Rasterrechtecke entstanden. Entsprechend wurden die beiden Kathetenrechtecke und das Hypotenusenrechteck halbiert.

Die Stimmigkeit der quasipythagoreischen Figuren lässt sich leicht verifizieren. Für die Rechnung wird jeweils die kürzere Seite der Rasterrechtecke auf 1 normiert.

Im der Abbildung 4a haben wir: , also

Im der Abbildung 4b ergibt sich: , also

In der Abbildung 4a (Hochformat-Raster) ist die Hypotenuse in „kleinen“ Einheiten (kurze Seite der Rasterrechtecke) gemessen, in der Abbildung 4b (Querformat) in „langen“ Einheiten. Dies ist aber nicht an den Rastertyp gebunden. Die Abbildung 5 zeigt ein Beispiel im Hochformat, bei dem die Hypotenuse in „langen“ Einheiten gemessen wird.

Abb. 5: Hochformat, Hypotenuse in langen Einheiten

Wir sehen aber sofort, dass dieses Beispiel durch Vertauschen der beiden Katheten in den Fall der Abbildung 4b (Querformat) übergeführt werden kann. Dieser wiederum kann durch Verdoppeln der Rasterrecke in den Fall der Abbildung 4a übergeführt werden. Wir können also ohne Verlust an Allgemeinheit eine Standardisierung vornehmen.

3 Standardisierung

Wir arbeiten im Hochformat-Raster und messen die Hypotenuse in Einheiten der kurzen Rasterrechtecksseite. Die Abbildung 6 zeigt ein etwas größeres Beispiel.

Abb. 6: Größeres Beispiel

Die Stimmigkeit der Figur lässt sich leicht verifizieren:

also

4 Quasipythagoreische Zahlentripel

Wir zählen die Rasterrechtecke längs der Seiten des rechtwinkligen Dreiecks. Im Beispiel der Abbildung 4a erhalten wir das Zahlentripel , im Beispiel der Abbildung 6 das Zahlentripel . Die erste Zahl entspricht der horizontalen Kathete im standardisierten Fall, die zweite Zahl der vertikalen Kathete und die dritte Zahl der Hypotenuse. Die Zahlentripel der beiden Beispiele genügen der Gleichung:

Wegen der Rasterlänge in vertikaler Richtung ist diese Bedingung allgemein genau dann erfüllt, wenn wir eine quasipythagoreische Figur in standardisierter Form haben.

Diese quasipythagoreischen Zahlentripel können in Anlehnung an die gewöhnlichen pythagoreischen Zahlentripel zum Beispiel wie folgt generiert werden. Es zeigt sich allerdings, dass dazu zwei verschiedene Formelsätze benötigt werden.

4.1 Erste Parametrisierung

Wir wählen zwei teilerfremde Parameter u mit u ungerade und . Dann erfüllen die Zahlen

die Bedingung , wie man leicht nachrechnet. Zudem ist das Tripel teilerfremd. Die Tabelle 1 zeigt die ersten Beispiele.

u	v	p	q	r
3	1	7	6	11
3	2	1	12	17
5	1	23	10	27
5	2	17	20	33
5	3	7	30	43
7	1	47	14	51
7	2	41	28	57
7	3	31	42	67
7	4	17	56	81
9	1	79	18	83
9	2	73	36	89
9	4	49	72	113
9	5	31	90	131
11	1	119	22	123
11	2	113	44	129
11	3	103	66	139
11	4	89	88	153
11	5	71	110	171
11	6	49	132	193
11	7	23	154	219
13	1	167	26	171
13	2	161	52	177
13	3	151	78	187
13	4	137	104	201
13	5	119	130	219
13	6	97	156	241
13	7	71	182	267
13	8	41	208	297
13	9	7	234	331

Tabelle 1

Für und ergibt sich das Tripel der Abbildung 6.

Schön und gut. Allerdings fehlt das Beispiel der Abbildung 4a). Dort haben wir das Tripel . Dazu würden die Parameter und gehören. Wir müssen also einen zweiten Anlauf nehmen.

4.2 Zweite Parametrisierung

Wir wählen zwei teilerfremde Parameter u und v mit und v ungerade. Dann erfüllen die Zahlen

die Bedingung , wie man leicht nachrechnet. Zudem ist das Tripel teilerfremd. Die Tabelle 2 zeigt die ersten Beispiele.

u	v	p	q	r
1	1	1	2	3
2	1	7	4	9
3	1	17	6	19
4	1	31	8	33
4	3	23	24	41
4	5	7	40	57
5	1	49	10	51
5	3	41	30	59
5	7	1	70	99
6	1	71	12	73
6	5	47	60	97
6	7	23	84	121
7	1	97	14	99
7	3	89	42	107
7	5	73	70	123
7	9	17	126	179
8	1	127	16	129
8	3	119	48	137
8	5	103	80	153
8	7	79	112	177
8	9	47	144	209
8	11	7	176	249
9	1	161	18	163
9	5	137	90	187
9	7	113	126	211
9	11	41	198	283
10	1	199	20	201
10	3	191	60	209
10	7	151	140	249
10	9	119	180	281
10	11	79	220	321
10	13	31	260	369

Tabelle 2

Hier sehen wir nun zuoberst das Beispiel der Abbildung 4a.

Die Abbildung 7 zeigt den Fall , mit dem Tripel .

Abb. 7: Tripel (7, 4, 9)

Ich weiß nicht, ob die Vereinigung der beiden Tabellen (ad infinitum gedacht) nun alle Fälle umfasst. In interessantes zahlentheoretisches Problem.

5 Das Kantholz im Nacken

„Das Kantholz im Nacken“ war früher ein didaktisches Prinzip. Das Kantholz war das Lineal des Lehrers, es hatte einen quadratischen Querschnitt (damit man durch „Abrollen“ eine Lineatur ziehen konnte). Ein Quader der Länge p mit quadratischem Querschnitt der Seitenlänge q hat die Diagonalenlänge r mit . Wir sind also beim Thema.

Das Kantholz hat als Motivationsprinzip ausgedient. PISA sei Dank.

6 Überlagerung von DIN-Rastern

6.1 Beispiele mit der ersten Parametrisierung

Wir zeichnen in der Abbildung 6 das ursprüngliche Rechtecksraster vor die quasipythagoreische Figur (Abb. 8). Wir haben somit im Bereich des Hypotenusenrechtecks eine Überlagerung von zwei kongruenten Rastern. Wir stellen fest, dass außer den Eckpunkten des Hypotenusenrechteckes noch weitere Punkte den beiden Rastern gemeinsam sind.

Abb. 8: Überlagerung von Rastern. Gemeinsame Punkte

Wir können diese beiden Rastern gemeinsamen Punkte zu einem neuen Rechtecksraster im DIN-Format erweitern (Abb. 9).

Abb. 9: Überlagerungsraster für u = 3, v = 1

Feststellungen ohne Beweis:

Der ursprüngliche Raster und der Raster des Hypotenusenrechteckes sind gegenüber diesem neuen Raster gespiegelt.

Die Rasterlinien des Überlagerungsrasters durch die Dreiecksecke links unten sind die innere und äußere Winkelhalbierende des dortigen Dreieckswinkels.

Die kurzen Rechtecksseiten des Überlagerungsrasters haben die Länge .

Die zugehörigen Rasterlinien haben im Basisraster ein Steigungsdreieck mit Horizontalweite u und der Vertikalweite v. Die Steigung ist im Basisraster , geometrisch also .

6.2 Beispiele mit der zweiten Parametrisierung

Nehmen wir das einfachste Beispiel mit und , das zum Tripel führt (Abb. 7). Wir erhalten wieder einen Überlagerungsraster (Abb. 10).

Abb. 10: Überlagerungsraster für u = 2, v = 1

Feststellungen ohne Beweis:

Der ursprüngliche Raster und der Raster des Hypotenusenrechteckes sind gegenüber diesem neuen Raster gespiegelt.

Die Rasterlinien des Überlagerungsrasters durch die Dreiecksecke links unten sind die innere und äußere Winkelhalbierende des dortigen Dreieckswinkels.

Die kurzen Rechtecksseiten des Überlagerungsrasters haben die Länge .

Die zugehörigen Rasterlinien haben im Basisraster ein Steigungsdreieck mit Horizontalweite v und der Vertikalweite –u. Die Steigung ist im Basisraster , geometrisch also . Das ist der einzige Unterschied zur ersten Parametrisierung.

7 Komplexe Zahlen

Wir können die Parametrisierungen auch mit komplexen Zahlen beschreiben.

7.1 Erste Parametrisierung

Wir wählen . Damit wird:

7.2 Zweite Parametrisierung

Wir wählen . Damit wird:

8 Ausblick

Statt mit DIN-Rechtecken mit dem Seitenverhältnis können wir mit Rechtecken im Seitenverhältnis , arbeiten. Die Abbildung 11 zeigt ein Beispiel mit Rechtecken im Seitenverhältnis .

Abb. 11: Seitenverhältnis

Der Rechtecksraster lässt sich in einen Dreiecksraster umbauen (Abb. 12).

Abb. 12: Dreiecksraster