Hans Walser, [20180501]
DIN-Format, Goldener Schnitt und gleichseitiges Dreieck
1 Worum geht es?
Die klassische Konstruktion eines Rechtecks im DIN-Format (Walser 2013b) wird iteriert und fŸhrt zum gleichseitigen Dreieck.
Umgekehrt kommen wir vom Goldenen Schnitt (Walser 2013a) zum DIN-Format.
2 Die Konstruktion
Die Abbildung 1 zeigt eine Konstruktionsfolge.
Abb. 1: Konstruktionsfolge
Die Abbildung 1a zeigt die klassische Konstruktion eines Rechteckes im DIN-Format auf der Basis eines Quadrates. Das DIN-Rechteck (hellblau) setzt sich aus dem Quadrat und dem rechts anschlie§enden stehenden Rechteck zusammen.
In den folgenden Abbildungen wird die Konstruktion weitergefŸhrt.
Wir vermuten, dass sich ein konstanter Zuwachs ergibt.
Die Abbildung 2 zeigt die Situation nach einigen weiteren Schritten. Wir vermuten, dass das eingezeichnete magenta Dreieck annŠhernd gleichseitig ist.
Abb. 2: Einige weitere Schritte
3 Rekursion
Wir wŠhlen die Hšhe der Rechtecke 1 und verwenden die Bezeichnungen der Abbildung 3.
Abb. 3: Daten und Bezeichnungen
Daraus ergibt sich die Rekursion:
(1)
Mit dem
Startwert 
ergeben
sich die ersten Werte der Tabelle 1.
|
n |
|
|
n |
|
|
0 |
1 |
|
10 |
0.577691204 |
|
1 |
0.414213562 |
|
11 |
0.577179839 |
|
2 |
0.668178638 |
|
12 |
0.577435493 |
|
3 |
0.534511136 |
|
13 |
0.577307660 |
|
4 |
0.599376933 |
|
14 |
0.577371574 |
|
5 |
0.566493003 |
|
15 |
0.577339617 |
|
6 |
0.582817365 |
|
16 |
0.577355595 |
|
7 |
0.574626405 |
|
17 |
0.577347606 |
|
8 |
0.578714614 |
|
18 |
0.577351601 |
|
9 |
0.576668701 |
|
19 |
0.577349603 |
Tab. 1: Die ersten Werte
Die Folge geht auf und ab, was wir auch in den Abbildungen 1 und 2 sehen.
Wir vermuten einen Grenzwert.
4 Berechnung des Grenzwertes
Wir
setzen in (1) die Variable 
fŸr 
und 
ein und
lšsen nach 
auf:
(2)
Wir erhalten schlie§lich die positive Lšsung:
(3)
Damit ist auch die Vermutung Ÿber das annŠhernd gleichseitige Dreieck (Abb. 2) bewiesen.
5 Variante: Goldener Schnitt
5.1 Konstruktion
Die Abbildung 4 zeigt die entsprechende Konstruktion fŸr das Goldene Rechteck mit den Folgekonstruktionen.
Abb. 4: Goldenes Rechteck und Folgekonstruktionen
Die Abbildung 5 zeigt einige weitere Konstruktionsschritte.
Abb. 5: Weitere Konstruktionsschritte
Wir wagen kaum zu vermuten, dass das hellblau eingezeichnete Rechteck nŠherungsweise im DIN-Format ist.
5.2 Rekursion und Grenzwert
Mit einer analogen Bezeichnung wie bei Abbildung 3 ergibt sich die Rekursion:
(4)
Die
Tabelle 2 zeigt die ersten Werte fŸr den Startwert 
.
|
n |
|
|
n |
|
|
0 |
1 |
|
10 |
0.7071114012 |
|
1 |
0.6180339880 |
|
11 |
0.7071052414 |
|
2 |
0.7376403060 |
|
12 |
0.7071072943 |
|
3 |
0.6970261330 |
|
13 |
0.7071066098 |
|
4 |
0.7104776595 |
|
14 |
0.7071068381 |
|
5 |
0.7059843442 |
|
15 |
0.7071067620 |
|
6 |
0.7074810589 |
|
16 |
0.7071067870 |
|
7 |
0.7069820366 |
|
17 |
0.7071067795 |
|
8 |
0.7071483647 |
|
18 |
0.7071067812 |
|
9 |
0.7070929196 |
|
19 |
0.7071067814 |
Tab. 2: Die ersten Werte
Zur Berechnung des Grenzwertes lšsen wir die Gleichung:
(5)
Wir erhalten:
(6)
Damit ist auch die Vermutung Ÿber das DIN-Format des letzten Rechteckes bewiesen.
6 Allgemein
Wir unterteilen
die Rechteckbasen von rechts her mit dem Anteil p (Abb. 6 fŸr 
). Dies gibt das Zentrum des Kreisbogens.
Abb. 6: Allgemein
FŸr die Rekursion gilt:
(7)
FŸr den Grenzwert erhalten wir:
(8)
Literatur
Walser, H. (2013a): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing Ÿber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.
Walser, H. (2013b): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-69-1.