Hans Walser, [20160604]

Chordalkreis

1     Worum geht es?

Verallgemeinerung der Chordale (Potenzgerade). Ebenfalls Verallgemeinerung des Kreises des Apollonius.

2     Potenz

Die Potenz p(P, k(M, r)) eines Punktes P bezźglich eines Kreises k(M, r) mit Mittelpunkt M und Radius r ist gegeben durch:

 

                                                                                              (1)

 

 

Es gilt der Satz:

Sind X und Y die Schnittpunkte einer beliebigen Geraden g durch P mit dem Kreis k, so ist:

 

                                                                             (2)

 

 

Fźr Punkte P au§erhalb des Kreises k ist die Potenz positiv. Sie ist gleich dem Quadrat der LŠnge eines Tangentenabschnittes von P nach k.

Fźr Punkte P auf dem Kreis k ist die Potenz null.

Fźr Punkte P innerhalb des Kreises k ist die Potenz negativ.

3     PotenzverhŠltnis

Gegeben seien nun zwei Kreise k1(M1(x1, y1), r1) und k2(M2(x2, y2),  r2) und ein VerhŠltnis v. Wir fragen nach der Menge der Punkte P(x,y) mit der Eigenschaft:

 

                                                                                                                       (3)

 

 

In Koordinaten erhalten wir:

 

                                             (4)

 

 

Die Gleichung (4) ist im allgemeinen Fall eine Kreisgleichung.

Fźr v = 1 ist (4) nur noch linear, also eine Geradengleichung.

4     Chordalkreis und Chordale

Im allgemeinen Fall beschreibt (4) einen Kreis, den Chordalkreis.

Fźr v = 1 beschreibt (4) eine Gerade, die Chordale oder Potenzgerade.

In den Beispielen der Abbildung sind jeweils ein Chordalkreis rot fźr v = ½, die Chordale grźn (fźr v = 1) und ein Chordalkreis blau fźr v = 5 eingezeichnet. Die beiden gegebenen Kreise k1 und k2 sowie deren Mittelpunkte sind schwarz.

 

 

 

 

 


Abb. 1: Beispiele

5     Sonderfall Apolloniuskreis

Im Sonderfall r1 = r2 = 0  ergeben sich Apolloniuskreise und Mittelsenkrechte (Abb. 2).

Abb. 2: Apolloniuskreise