Hans Walser, [20150829]

Catalan-Zahlen

1     Problemstellung

Es sollen n Elemente auf n linear angeordnete Felder verteilt werden wie folgt. Das erste Element hat freie Platzwahl. Das zweite Element hat freie Platzwahl im ersten noch freien Intervall. Das dritte und die weiteren Elemente nacheinander freie Platzwahl im jeweils ersten freien Intervall.

Bemerkung: Ohne die EinschrŠnkung auf das erste freie Intervall ergŠben sich die n! Permutationen.

2     Codierung

Wir codieren die Reihenfolge gemŠ§ Abbildung 1.

 

Abb. 1: Reihenfolge

 

3     Beispiele

3.1    Ein Element

Gibt nur  eine Mšglichkeit.

3.2    Zwei Elemente

Nun gibt es fŸr das erste Element zwei Mšglichkeiten. Das zweite Element hat keine Wahl mehr.

 

Abb. 2: Zwei Elemente

 

In Zahlen: [1,2] und [2,1].

 

3.3    Drei Elemente

Wir haben fŸnf Mšglichkeiten.

 

Abb. 3: Drei Elemente

 

In Zahlen: [1,2,3], [1,3,2], [2,1,3], [2,3,1], [3,2,1]. Hier unterscheiden sich die Anordnungsmšglichkeiten von den Permutationen. Bei den Permutationen hŠtten wir noch zusŠtzlich [3,1,2]. Das ist in unserem Fall ausgeschlossen, weil die 2 im Intervall vor der 1 stehen muss.

3.4    Vier Elemente

Es gibt 14 Mšglichkeiten.

 

Abb. 4: Vier Elemente

 

Es ist 14 < 4! = 24.

3.5    FŸnf Elemente

Es gibt 42 Mšglichkeiten.

 

Abb. 5: FŸnf Elemente

 

4     Allgemeine Formel

Wir bezeichnen mit  die Anzahl der Anordnungen von n Elementen gemŠ§ unseren Restriktionen.

Wir setzen , da man nur auf eine Art gar nichts tun kann.

Nun nehmen wir an, das erste Element setze sich auf die Position k. Dann mŸssen die nachfolgenden  Elemente zwingend auf die  PlŠtze vor dem ersten Element kommen. Dazu gibt es  Mšglichkeiten. Die restlichen  Elemente kommen auf die  Positionen hinter dem ersten Element. Dazu gibt es  Mšglichkeiten. Wenn das erste Element also die Position k wŠhlt, gibt es insgesamt  Mšglichkeiten. Somit ergibt sich die Rekursion:

 

                                                                                                         (1)

 

 

Zusammen mit dem Startwert erhalten wir:

 

n

 

 

n

0

1

 

 

 

 

1

1

 

 

11

58786

2

2

 

 

12

208012

3

5

 

 

13

742900

4

14

 

 

14

2674440

5

42

 

 

15

9694845

6

132

 

 

16

35357670

7

429

 

 

17

129644790

8

1430

 

 

18

477638700

9

4862

 

 

19

1767263190

10

16796

 

 

20

6564120420

            Tab. 1: Catalan-Zahlen

 

Diese Zahlen sind die Catalan-Zahlen, benannt nach Eugne Charles Catalan (1814-1894). Die Catalan-Zahlen lassen sich auch berechnen mit:

 

                                                                                                                  (2)