Hans Walser, [20080202b]

Die Cantor-Menge im n-dimensionalen HyperwŸrfel

1        Die Cantor-Menge

Die Ÿbliche Cantor-Menge kann generiert werden, indem wir mit den beiden Endpunkten  und  des Intervalls  beginnen. Anschlie§end wird eine Punktfolge  mit dem Startpunkt  rekursiv definiert:

Dabei ist r eine Zufallszahl aus {0, 1}. Die Punkte  fŸhren zur Cantor-Menge.

Die Cantor-Menge hat die fraktale Dimension .

2        Im Quadrat

Im Einheitsquadrat mit den vier Eckpunkten  fŸhrt das entsprechende Vorgehen zu folgendem Fraktal:

Die fraktale Dimension ist , das Doppelte der fraktalen Dimension der Cantor-Menge.

3        Im WŸrfel

FŸr das entsprechende Fraktal im WŸrfel verwenden wir die so genannte isometrische Projektion.

In dieser Projektion fallen zwei diametrale WŸrfelecken in der Bildmitte aufeinander.

Das der Cantor-Menge entsprechende Fraktal sieht nun so aus:

†ber die fraktale Dimension dieses Dings kann diskutiert werden. Die Frage ist, ob das mittlere StŸck doppelt oder einfach gezŠhlt werden soll.

Die DoppelzŠhlung entspricht der Situation im dreidimensionalen Raum.

Wir erhalten dann die fraktale Dimension , das Dreifache der fraktalen Dimension der Cantor-Menge.

Bei EinfachzŠhlung des mittleren StŸckes ergibt sich .

Dieses Fraktal kann auch mit konventionellen Methoden gebaut werden:

Die wei§en Lšcher sind KochÕsche Schneeflocken.

4        Im vierdimensionalen Raum

Wir verwenden den vierdimensionalen HyperwŸrfel in isometrischer Darstellung.

FŸr das entsprechende Fraktal erhalten wir:

Es sind hier 10000 Punkte gezeichnet, trotzdem ist die Auflšsung nicht besonders gut.

 

Literatur

[Zeitler 2007]              Zeitler, Herbert: DimensionsŠnderung bei der Projektion von Fraktalen. MNU, Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht. 60/8, 1.12.2007, S. 464-470