Hans Walser, [20180112]

Brotkruste

Anregungen: Sebastian Baader, Bern, und Anselm Lambert, SaarbrŸcken

1     Worum geht es?

In einigen Gegenden der Schweiz gibt es ein annŠhernd kugelfšrmiges Brot, das so genannte St. Galler-Brot (Abb. 1).

Abb. 1: St. Galler-Brot

Da bei gut gebackenem Brot die Kruste als Leckerbissen gilt, ist die Frage, wie aus GerechtigkeitsgrŸnden das Brot in Scheiben zu schneiden ist so dass alle Scheiben gleich viel Kruste enthalten.

Die Antwort ist einfach: Die Brotscheiben mŸssen gleich dick sein.

2     BegrŸndung

Wir modellieren das St. Galler-Brot als Kugel. Die Kruste einer Scheibe ist eine Kugelzone.

2.1    Formelsammlung

In der Formelsammlung finden wir fŸr den FlŠcheninhalt A einer Kugelzone:

 

                                                                                                                         (1)

 

 

Dabei ist R der Kugelradius und h die Hšhe, also die Scheibendicke. Wie kann diese Formel hergeleitet werden?

2.2    Die Karte von Archimedes-Lambert

Archimedes (Archimedes von Syrakus, um 287 v. Chr. – 212 v. Chr.) schlug vor, eine Weltkarte wie folgt zu zeichnen. Um den €quator der Erdkugel legt er einen Zylinder, der gleich hoch ist wie die Erde (Abb. 2a). Dann projiziert er einen Kugelpunkt (grŸn in Abb. 2b) von der Erdachse aus horizontal auf den Zylinder (roter Bildpunkt in Abb. 2b).

Das gelbe Dreieck ist rechtwinklig. Seine Hypotenuse ist der Erdradius R, seine horizontale Kathete ist der Radius r des Breitenkreises, auf dem sich der grŸne Kugelpunkt befindet.

Nach der Projektion wird der Zylinder lŠngs einer Mantellinie (Bild eines Meridians) aufgeschnitten und in die Ebene abgerollt. Das gibt ein Rechteck der LŠnge  (LŠnge des €quators) und der Hšhe  (Hšhe von Pol zu Pol).

Abb. 2: Vorschlag von Archimedes

Die Abbildung 3 zeigt die nach diesem Verfahren hergestellte Weltkarte. Sie wird als Karte von Archimedes-Lambert bezeichnet (Johann Heinrich Lambert, 1728-1777). Kartendaten aus [1] .

Abb. 3: Karte von Archimedes-Lambert

2.3    FlŠchengleichheit

Die FlŠche des Rechteckes mit der LŠnge  und der Hšhe  ist , also gleich gro§ wie die KugeloberflŠche.

Zudem ist es so — und das ist das Raffinierte an dieser Karte — dass nicht nur die globale FlŠche Ÿbereinstimmt, sondern dass auch jedes Detail flŠchenmŠ§ig Ÿbereinstimmt. So ist zum Beispiel jeder Kontinent auf der Karte in der richtigen Grš§e angegeben. Allerdings werden die Formen der Kontinente verzerrt.

Um zu zeigen, dass jede DetailflŠche in der richtigen Grš§e wiedergegeben wir, denken wir uns auf der Erdkugel ein kleines, nach Norden ausgerichtetes Quadrat der SeitenlŠnge s.

In der SŸd-Nord-Richtung wird diese SeitenlŠnge bei der Projektion von Archimedes gestaucht (Abb. 4). Die gestauchte LŠnge bezeichnen wir mit .

Abb. 4: Stauchen in SŸd-Nord-Richtung

Da die beiden in der Abbildung 4 eingezeichneten Dreiecke Šhnlich sind, gilt:

 

                                                                                                      (2)

 

 

In der West-Ost-Richtung wird die SeitenlŠnge aber gespreizt. Die Abbildung 5 zeigt die Situation in der Sicht von oben. Die gespreizte LŠnge bezeichnen wir mit .

Abb. 5: Spreizen in der West-Ost-Richtung

Wir sehen zwei teilweise Ÿbereinander liegende Sektoren. Der kleine Sektor (gelb) hat den Radius r und den Bogen s. Der gro§e Sektor (hellblau) hat den Radius R und den Bogen . Aus der €hnlichkeit der beiden Sektoren folgt:

 

                                                                                                      (3)

 

 

Das kleine Quadrat mit der SeitenlŠnge s wird also auf ein Rechteck mit den Seiten  und  abgebildet (Abb. 6). Da sehen wir nochmals, dass die Form verzerrt wird.

Abb. 6: Aus dem Quadrat wird ein Rechteck

FŸr den FlŠcheninhalt dieses Rechteckes erhalten wir aus (2) und (3):

 

                                                                                                           (4)

 

 

Das kleine Quadrat und sein rechteckiges Bild auf der Karte haben also den gleichen FlŠcheninhalt. Wenn wir also zum Beispiel Australien in kleine Quadrate zerlegen, ergibt sich auf der Karte eine Zerlegung in kleine Rechtecke mit derselben FlŠche.

Zum Nachdenken: Kann man wirklich Australien in kleine Quadrate zerlegen?

2.4    Kugelzone

Wir projizieren nun eine Kugelzone nach dem Verfahren von Archimedes (Abb. 7 und 8).

Abb. 7: Kugelzone

Abb. 8: Kugelzone in der Karte

FŸr den FlŠcheninhalt A der gelben Kugelzone erhalten wir  wie in (1).

3     Infinitesimal klein

Bei unserer FlŠchenŸberlegung mit dem ãkleinenÒ Quadrat sind wir darŸber hinweggegangen, dass auch ein kleines Quadrat auf der Kugel nicht eben ist. Die FlŠchenŸberlegungen gelten daher nur nŠherungsweise. Allerdings wird diese NŠherung immer besser, je kleiner das Quadrat ist. Das fŸhrt zum Konzept eines ãunendlich kleinenÒ oder infinitesimal kleinen Quadrates. Solche †berlegungen gehen auf Leibniz (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716) zurŸck und markieren den Beginn der formalen Infinitesimalrechnung. Wir haben aber gesehen, wie dies bereits Archimedes implizit gehandhabt hat.

4     Welches ist die rundeste Kugel?

4.1    Frage und Antwort

Abb. 9: Welches ist die rundeste Kugel?

In der Regel wird die Kugel der Abbildung 9b als rundeste oder schšnste Kugel bezeichnet. Eine Minderheit gibt der Kugel der Abbildung 9a den Vorzug. Ein einziges Mal habe ich erlebt dass jemand (ein KŸnstler, der nebenbei Mathematik fŸr das Lehramt studierte) die Kugel der Abbildung 9c als schšnste ansah.

4.2    Form  und FlŠche

Die Meridiane sind in allen drei Bildern gleich eingezeichnet. Unterschiede bestehen lediglich in der Darstellung der Breitenkreise.

Bei der Kugel der Abbildung 9a wurde die Ÿbliche Parametrisierung mit geografischer Breite und geografischer LŠnge mit einer Maschengrš§e (SchrittlŠnge) von 15¡ verwendet. Diese Darstellungstechnik soll bereits den Phšniziern bekannt gewesen sein. Die Netzvierecke sind, auf der KugeloberflŠche gemessen, alle gleich hoch, in unserem Beispiel 15¡. Die Breitenkreise bilden 12 Kugelzonen.

Bei der Kugel der Abbildung 9b haben alle Netzvierecke dieselbe Form. Sie sind annŠhernd quadratisch. Wir haben unendliche viele Breitenkreise, die sich in Richtung der Pole hŠufen. Damit haben wir auch unendlich viele Kugelzonen.

Bei der Kugel der Abbildung 9c haben alle Netzvierecke (inklusive die Netzdreiecke an den Polen) denselben FlŠcheninhalt. In unserem Beispiel ist der FlŠcheninhalt eines Netzviereckes  der gesamten KugeloberflŠche. Die Breitenkreise bilden acht Kugelzonen.

Offenbar wird unser Šsthetisches Empfinden viel mehr durch Formen als durch FlŠcheninhalte bestimmt.

4.3    Technische Parametrisierung

Kugel der Abbildung 9a:

 

                                                       (5)

 

 

 

Kugel der Abbildung 9b:

 

                                                           (6)

 

 

 

Kugel der Abbildung 9c:

 

                                              (7)

 

 

 

Die Abbildung 10 zeigt die zugehšrige Kugeldarstellung von der Seite. Wir sehen die acht gleich dicken Scheiben.

Abb. 10: Gleich dicke Scheiben

 

Websites

[1] Kartenprojektionen (abgerufen 13.01.2018):

http://swai.ethz.ch/swaie/MapProjector/MapProjector.de.html