Hans Walser, [20160620]

Bogenviereck mit Umkreis

1     Worum geht es

Die Kriterien fźr ein Sehnenviereck werden auf Bogenvierecke źbertragen.

2     Erinnerung

Ein Viereck ist genau dann ein Sehnenviereck, wenn seine alternierende Winkelsumme null ist.

Abb. 1: Sehnenviereck

Mit den Bezeichnungen der Abbildung 1 ist also:

 

                                                                                                             (1)

 

Das wird oft in der Form

 

                                                                                                                  (2)

 

geschrieben. Wegen der Winkelsumme 360ˇ ist dann:

 

                                                                                                       (3)

 

Wir werden sehen, dass (1) und (2) auch fźr Bogenvierecke mit einem Umkreis gelten, nicht aber (3).

3     Bogenviereck

Fźr ein beliebiges Bogenviereck verwenden wir die Bezeichnungen der Abbildung 2.

Abb. 2: Bogenviereck

Die Innenwinkel kšnnen auch negativ oder źberstumpf sein.

4     Vergleich mit geradlinigem Viereck

Wir markieren die Winkelabweichungen von den Winkeln des geradlinigen Vierecks gemŠ§ Abbildung 3. Abweichungen nach au§en rechnen wir positiv, Abweichungen nach innen negativ.

Abb. 3: Abweichungen

Der Vergleich der Abbildungen 1, 2 und 3 liefert:

 

                                                                                                                   (4)

 

 

 

 

 

In der alternierenden Winkelsumme fallen die Abweichungen weg:

 

      (5)

 

Ein Bogenviereck hat also genau dann einen Umkreis, wenn die alternierende Winkelsumme null ist.

Die direkte Winkelsumme ist in der Regel nicht 360ˇ. Wenn zum Beispiel alle Abweichungen positiv sind, ist sie grš§er als 360ˇ.

5     Beispiel Bogenrechteck

Ein Viereck mit lauter rechten Winkeln hat einen Umkreis (Abb. 4).

Abb. 4: Bogenrechteck