Hans Walser, [20130101a]

Binomische Formel

1     Binomische Formel modulo Exponent

Die binomische Formel  gehšrt zu den Grundlagen der humanistischen Bildung. Leider wird sie von den Schźlern oft falsch verwendet, nŠmlich in der Form:

 

 

Wenn wir allerdings modulo 2 rechnen, ist diese Formel durchaus richtig. Wenn wir modulo 3 rechnen, gilt:

 

 

Wer jetzt allerdings denkt, er habe die Sache im Griff, irrt. Modulo 4 ist nŠmlich:

 

 

Dies gibt Anlass, die Koeffizienten  anzusehen. (Die Modulzahl wŠchst von Zeile zu Zeile, es gibt also nicht die źblichen Fraktale wie bei einer festen Modulzahl.)


 

2     Tabelle

Im Folgenden die Tabelle

2.1    Rechteckdarstellung

 

n\k

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

0

1

1

1

1

2

1

0

1

3

1

0

0

1

4

1

0

2

0

1

5

1

0

0

0

0

1

6

1

0

3

2

3

0

1

7

1

0

0

0

0

0

0

1

8

1

0

4

0

6

0

4

0

1

9

1

0

0

3

0

0

3

0

0

1

10

1

0

5

0

0

2

0

0

5

0

1

11

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

12

1

0

6

4

3

0

0

0

3

4

6

0

1

13

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

14

1

0

7

0

7

0

7

2

7

0

7

0

7

0

1

15

1

0

0

5

0

3

10

0

0

10

3

0

5

0

0

1

16

1

0

8

0

12

0

8

0

6

0

8

0

12

0

8

0

1

17

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

 


 

2.2    Wabendarstellung

Die Nullen sind durch leere Waben dargestellt.

 

 

3     Vermutungen

Die Tabelle gibt Anlass zu einigen Vermutungen.

á            Die Tabelle ist symmetrisch. . Trivial, da Binomialkoeffizienten symmetrisch.

á            Fźr n prim haben wir in der entsprechenden Zeile eine ăNullenbankŇ. Zwischen der ersten und der letzten 1 hat es nur Nullen. Das lŠsst sich mit der Darstellung  zeigen. Mit Ausnahme der ersten und der letzten Zahl lŠsst sich der prime Faktor n im ZŠhler nicht herauskźrzen.

á            Fźr k prim haben wir in der entsprechenden Spalte die natźrlichen Zahlen mit jeweils  Nullen dazwischen. Beweis fźr mich offen.

Link

http://oeis.org/A053200 (abgerufen 1.1.2013)