Hans Walser, [20161015]

Bandornamente

Anregung: Winkler (2016)

1     Worum geht es

Es werden Bandornamente als 2-regulŠre Dreiecksfiguren dargestellt. Das sind Figuren, welche aus ausschlie§lich gleichseitigen kongruenten Dreiecken zusammengesetzt sind. Dabei kommen an jeder Dreiecksecke genau zwei Dreiecke zusammen.

2     Sieben Symmetrieklassen

Es gibt sieben Symmetrieklassen von Bandornamenten (Walser 2014, S. 80). Es werden zu jeder Symmetrieklasse Beispiele als 2-regulŠre Dreiecksfigur gegeben. Zu jedem Beispiel sind in der ersten, gelb unterlegten Elementarzelle (Periode, Rapport) die Symmetrieelemente (Translationspfeil, Symmetrieachsen, Symmetriezentren) in blau eingezeichnet. Mit hellblauen Punkten sind die ungesŠttigten Dreiecksecken unterlegt, also diejenigen Ecken, an denen noch nicht beide dort zusammenkommenden Dreiecke gezeichnet sind. Diese Punkte sind an den Enden des gezeichneten Ausschnittes.

Die Herausforderung besteht darin, mit mšglichst wenigen Dreiecken in der Elementarzelle auszukommen.

In den folgenden Abbildungen sind jeweils 4 oder 8 Elementarzellen gezeichnet.

2.1    Symmetrieklasse F1

Die Bandornamente haben ausschlie§lich Translationssymmetrie.

Buchstabenbeispiel: pppp

Dem Autor hat dieses eigentlich einfachste Symmetrieverhalten am meisten Kopfzerbrechen verursacht.

Translationssymmetrie

Translationssymmetrie

Schlangenlšsung

2.2    Symmetrieklasse F2

Translationssymmetrie und Punktsymmetrie.

Buchstabenbeispiel: pdpdpdpd

Translationssymmetrie. Punktsymmetrie

Das folgende Beispiel gehšrt zur selben Symmetrieklasse. Es kommt mit deutlich weniger Dreiecken aus, ist dafŸr nicht mehr gradlinig begrenzt.

Einfacheres Beispiel ohne glatten Rand

Schlangenlšsung

2.3    Symmetrieklasse F3

Translationssymmetrie und Achsensymmetrie mit einer horizontalen Symmetrieachse. Der Translationspfeil ist auf der Symmetrieachse eingezeichnet.

Buchstabenbeispiel: cccc

Translation und Spiegelung an horizontaler Achse

Einfacheres Beispiel

2.4    Symmetrieklasse F4

Translationssymmetrie und Achsensymmetrie an vertikalen Symmetrieachsen.

Buchstabenbeispiel: pqpqpqpq

Translation und Spiegelungen an vertikalen Achsen

Einfacheres Beispiel ohne glatten Rand

2.5    Symmetrieklasse F5

Translationssymmetrie, Punktsymmetrie und Achsensymmetrie an einer horizontalen und an vertikalen Achsen.

Buchstabenbeispiel: oooo

Wohl das einfachste Beispiel

Ein etwas komplizierteres Beispiel

2.6    Symmetrieklasse F6

Translationssymmetrie, Punktsymmetrie und Achsensymmetrie an vertikalen Achsen.

Buchstabenbeispiel: pdbqpdbqpdbqpbbq

Translationssymmetrie, Punktsymmetrie und Spiegelung an vertikalen Achsen

Beispiel ohne glatten Rand

2.7    Symmetrieklasse F7

Translationssymmetrie und Schubspiegelsymmetrie.

Buchstabenbeispiel: pbpbpbpb

Translationssymmetrie und Schubspiegelsymmetrie

Translationssymmetrie und Schubspiegelsymmetrie

Schlangenlšsung

3     Abschluss

Bandornamente sind unendlich lang. Oben wurde immer nur ein Ausschnitt vorgestellt. An den beiden Enden sind ungesŠttigte Anschlusspunkte.

Solche Punkte kšnnen gesŠttigt werden etwa mit Figuren der folgenden Abbildung.

SŠttigungsbeilagen

Das erste Beispiel sieht falsch aus, man meint, im innersten Punkt kŠmen vier Dreiecke zusammen. Die Figur ist aber korrekt, es sind zwei verschiedene Punkte. Bezogen auf die SeitenlŠnge 1 der Dreiecke haben die beiden Punkte den Abstand 0.0548.

Im Folgenden zwei Beispiele mit Abschluss. SelbstverstŠndlich handelt es sich jetzt nicht mehr um Bandornamente. Wir haben nur endlich viele Dreiecke.

Abgeschlossene Figur

Abgeschlossene Figur

4     FlŠchenornamente

Eine analoge Klassifizierung fŸr FlŠchenornamente findet sich in [1].

 

Literatur

Walser, Hans (2014): Symmetrie in Raum und Zeit. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-46-2.

Winkler, Mike (2016): Ein neuer 4-regulŠrer Streichholzgraph. Mitteilungen der DMV 24 / 2016. 74-75.

Winkler, Mike und Dinkelacker, Peter und Vogel, Stefan (2016): New minimal (4,n)-regular matchstick graphs. arXiv:1604.07134v2

 

Websites

[1] Hans Walser: FlŠchenornamente (16.12.2016):

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Flaechenornamente/Flaechenornamente.htm