Hans Walser, [20230711]

Arithmetische Folge

1 Worum geht es?

Geometrische Spielerei

2 Arithmetische Folge

In einem Dreieck ABC bilden die drei Seiten a, b, c eine arithmetische Folge mit der Differenz d. Wir setzen a = 1, b = 1 + d, c = 1 + 2d.

Die Abbildung 1 zeigt die Situation bei Variation von d.

Abb. 1: Variation der Differenz d

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3.1 Bahnkurve

Die Bahnkurve des Punktes A sieht aus wie ein Halbkreis, ist aber keiner. Die Abbildung 2 zeigt den Vergleich mit einem Halbkreis.

Abb. 2: Vergleich mit Halbkreis

3.2 Grenzen

Für d gelten die Grenzen

–1/3 ≤ d ≤ 1

An den Grenzen sind die drei Punkte A, B, C kollinear.

3.3 Sonderfälle

Für d = –1/5 erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck (Abb. 3). Das Dreieck ist ähnlich zum pythagoreischen Dreieck mit dem Seitenverhältnis 3:4:5.

Abb. 3: Rechtwinkliges Dreieck

Für d = 0 ergibt sich das gleichseitige Dreieck (Abb. 4).

Abb. 4: Gleichseitiges Dreieck

Für d = 1/3 ergibt sich wieder ein rechtwinkliges Dreieck (Abb. 5). Das Dreieck ist ebenfalls ähnlich zum pythagoreischen Dreieck mit dem Seitenverhältnis 3:4:5.

Abb. 5: Rechtwinkliges Dreieck

Weblinks

Hans Walser: Geometrische Folge und Goldener Schnitt

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Geom_Folge2/Geom_Folge2.html