Hans Walser, [20130526]

Archimedische Spiralen

Idee: H. K. S., L.

1        Worum es geht

Aus Kreisscharen werden Approximationen von archimedischen Spiralen gezeichnet. Dann wird versucht, mit mšglichst vielen Farben zu kolorieren. Das Aneinanderfźgen zu Bandornamenten kann die Anzahl der Farben reduzieren.

2        Die Technik

Die Abbildung 1a zeigt eine Schar von zehn konzentrischen Kreisen mit Šquidistanten Radien. Wir schneiden in der Mitte horizontal durch und verschieben die obere HŠlfte um eine (Abb. 1a) oder mehrere Einheiten nach rechts.

Abb. 1: Kreise und Spiralen

Die Spiralen kšnnen wir zu mŠandrierenden Ornamenten zusammensetzen..

In der Ausgangslage kšnnen wir mit so vielen Farben fŠrben, wie wir Kreise haben (Abb. 2).

Abb. 2: Bunte Kreise

3        Spiralenbeispiele

Es werden jeweils die Spirale und ein Anfang eines Bandornamentes gezeigt.

3.1      Versatz 1

Beim Versatz 1 ist nur eine Farbe mšglich (Abb. 3). Das gilt auch fźr das Bandornament (Abb. 4).

Abb. 3: Versatz 1

Abb. 4: Ornament mit Versatz 1

3.2      Versatz 2

Beim Versatz 2 kšnnen wir mit zwei Farben kolorieren (Abb. 5 und 6).

Abb. 5: Versatz 2

Im Ornament sind die beiden Farben durchlaufend wie der berźhmte ărote FadenŇ in den Tauen der englischen Marine.

Abb. 6: Ornament mit Versatz 2

3.3      Versatz 3

Beim Versatz 3 kšnnen wir in der Einzelspirale mit drei Farben arbeiten (Abb. 7).

Abb. 7: Versatz 3

Beim Ornamente sieht es anders aus. Bei einem endlosen Ornament kšnnen wir nur mit einer Farbe arbeiten. Das liegt am ParitŠtswechsel bei der †bergangsstelle. Bei einem endlichen Ornament kšnnen wir an jedem Ende noch eine zusŠtzliche Farbe einbauen (Abb. 8).

Abb. 8: Ornament

3.4      Versatz 4

Beim Versatz 4 kšnnen wir in der Einzelspirale mit vier Farben kolorieren (Abb. 9).

Abb. 9: Versatz 4

Beim Ornament mit drei Teilen (Abb. 10) kšnnen wir pro S-Glied zwei zusŠtzliche Farben einbringen (Abb. 100). Wir haben keinen roten Faden im Sinne der englischen Marine, also eine durchlaufende Farbe. Das Ornament besteht farbmŠ§ig aus beschrŠnkten Kettengliedern. Jedes Glied besteht aus zwei Farben. Wir haben kein mŠandrisches Verhalten.

Abb. 10: Ornament als Kette

3.5      Versatz 5

Beim Versatz 5 schaffen wir fźnf Farben (Abb. 11).

Abb. 11: Versatz 5

Beim Ornament haben wir fźnf Farben welche alle durchlaufen (Abb. 12).

Abb. 12: Ornament mit durchlaufenden Farben

3.6      Versatz 6

Induktiv kann gezeigt werden, dass bei einem Versatz von  mit n Farben gearbeitet werden kann. Wir studieren im Folgenden nur noch die Ornamente.

Das endlose Ornament mit Versatz 6 hat nur zwei Farben, welche beide durchlaufen (Abb. 13).

Abb. 13: Ornament mit durchlaufenden Farben

3.7      Versatz 7

Das endlose Ornament mit Versatz 7 hat nur eine Farbe (Abb. 14).

Abb. 14: Monochromes Ornament

3.8      Versatz 8

Wir haben zweifarbige Kettenglieder (Abb. 15).

Abb. 15: Kettenglieder

3.9      Versatz 9

Die Abbildung 16 zeigt, wie sich eine partikulŠre Farbe durch alle KanŠle zieht. Wir haben daher einen MŠander mit nur einer Farbe.

Abb. 16: Wir verfolgen eine Farbe

3.10  Versatz 10

Die 10 Farben ziehen sich wellenfšrmig durch (Abb. 17).

Abb. 17: 10 Farben

Da ein Versatz von 11 gleichbedeutend ist mit einem Versatz von 9 nach links, sind wir nun durch.

4        †bersicht źber die Ornamente

Diese †bersicht basiert darauf, dass wir mit 10 konzentrischen Kreisen begonnen haben.

Versatz

Durchlaufend

Anzahl Glieder

Anzahl Farben

0

nein

10

 

1

ja

 

1

2

ja

 

2

3

ja

 

1

4

nein

2

 

5

ja

 

5

6

ja

 

2

7

ja

 

1

8

nein

2

 

9

ja

 

1

10

ja

 

10