Hans Walser, [20160436]
Approximation der Kreiszahl ¹
1 Worum geht es?
Das dem Einheitskreis einbeschriebene Sechseck hat den halben Umfang 3.
Hingegen hat erst das dem Einheitskreis einbeschriebene Zwšlfeck den FlŠcheninhalt 3 (Abb. 1).
Abb. 1: Sechseck und Zwšlfeck
2 Einbeschriebene Vielecke
Allgemein gilt fŸr das dem Einheitskreis einbeschriebene regelmŠ§ige n-Eck:
(1)
Daraus ergibt sich:
(2)
Die Tabelle 1 gibt Werte fŸr Verdoppelungen von 6.
|
n |
FlŠcheninhalt |
Halber Umfang |
|
6 |
2.598076212 |
3 |
|
12 |
3 |
3.105828541 |
|
24 |
3.105828541 |
3.132628613 |
|
48 |
3.132628613 |
3.139350203 |
|
96 |
3.139350203 |
3.141031953 |
|
192 |
3.141031953 |
3.141452473 |
|
384 |
3.141452473 |
3.141557609 |
|
768 |
3.141557609 |
3.141583892 |
|
1536 |
3.141583892 |
3.141590465 |
|
3072 |
3.141590465 |
3.141592108 |
|
6144 |
3.141592108 |
3.141592518 |
|
12288 |
3.141592518 |
3.141592620 |
|
24576 |
3.141592620 |
3.141592648 |
|
49152 |
3.141592648 |
3.141592652 |
|
98304 |
3.141592652 |
3.141592653 |
|
196608 |
3.141592653 |
3.141592653 |
|
393216 |
3.141592653 |
3.141592653 |
|
786432 |
3.141592653 |
3.141592653 |
|
1572864 |
3.141592653 |
3.141592654 |
|
3145728 |
3.141592654 |
3.141592654 |
Tab. 1: Einbeschriebene Vielecke
3 Umbeschriebene Vielecke
FŸr das dem Einheitskreis umbeschriebene regelmŠ§ige n-Eck gilt:
(3)
Hier haben der halbe Umfang und der FlŠcheninhalt dieselbe Ma§zahl. Der Grund ist einfach: der FlŠcheninhalt ist der halbe Umfang mal der Inkreisradius. In unserem Beispiel ist der Inkreisradius 1.
Die Tabelle 2 gibt die Werte fŸr Verdoppelungen von 6.
|
n |
FlŠcheninhalt |
Halber Umfang |
|
6 |
3.464101616 |
3.464101616 |
|
12 |
3.215390309 |
3.215390309 |
|
24 |
3.159659942 |
3.159659942 |
|
48 |
3.146086215 |
3.146086215 |
|
96 |
3.142714601 |
3.142714601 |
|
192 |
3.141873051 |
3.141873051 |
|
384 |
3.141662748 |
3.141662748 |
|
768 |
3.141610176 |
3.141610176 |
|
1536 |
3.141597036 |
3.141597036 |
|
3072 |
3.141593752 |
3.141593752 |
|
6144 |
3.141592929 |
3.141592929 |
|
12288 |
3.141592723 |
3.141592723 |
|
24576 |
3.141592673 |
3.141592673 |
|
49152 |
3.141592658 |
3.141592658 |
|
98304 |
3.141592654 |
3.141592654 |
|
196608 |
3.141592653 |
3.141592653 |
|
393216 |
3.141592653 |
3.141592653 |
|
786432 |
3.141592653 |
3.141592653 |
|
1572864 |
3.141592654 |
3.141592654 |
|
3145728 |
3.141592654 |
3.141592654 |
Tab. 2: Umbeschriebene Vielecke
Ich verstehe dieses fŸr innen und au§en unterschiedliche Verhalten nicht.