Hans Walser, [20110313b], [20131230g]

Andocken

Anregung: A. G., R.

1 Worum geht es?

Aus vier stumpfen Rhombenhexaedern mit dem Diagonalenverhältnis lässt sich das Rhombendodekaeder zusammenbauen.

Rhombendodekaeder . Vier Rhombenhexaeder

Die Frage ist, wie die vier Rhombenhexaeder gekuppelt werden können. Insbesondere interessiert, ob die vier Rhombenhexaeder inklusive Kupplung kongruent und gleich orientiert sein können. Dabei stellen wir die Bedingung, dass irgend zwei zusammenstoßende Seitenflächen zweier Rhombenhexaeder gekuppelt sein müssen; es darf also keine Brücken geben.

2 Philosophieren über Kupplungen

Bei einer einfachen Modelleisenbahn mit einer Ring-Haken-Kupplung (vorne Ring, hinten Haken) hat den Nachteil, dass die Wagen zunächst richtig aufgegleist werden müssen. Wenn dann aber das Gleisnetz eine Kehrschleife oder ein Gleisdreieck enthält, also nicht orientierbar ist, kann es trotzdem im Betriebsverlauf vorkommen, dass zwei Haken oder zwei Ringe aufeinander treffen. Die europäischen Bahnen, welche immer noch diese primitive Kupplung (Schraubenkupplung) verwenden, haben daher an beiden Wagenenden sowohl einen Ring wie auch einen Haken, wobei immer nur die Hälfte der Installation im Einsatz ist. Der geometrische Grund für diesen Nachteil liegt darin, dass die Ring-Haken-Kupplung keine senkrechte Symmetrieachse hat.

Anders bei automatischen Kupplungen, etwa der amerikanischen Janney-Kupplung, der russischen SA-3-Kupplung oder der Scharfenberg-Kupplung, welche bei Hochgeschwindigkeitszügen Standard ist. Wir können uns durch die Mitte der beiden Kupplungen eine senkrechte Symmetrieachse (Drehachse zu einer 180°-Drehung) denken.

Ebenfalls zu diesem Symmetrietyp gehört die nostalgische Mittelpuffer-Kupplung der rhätischen Bahn und der Furka-Oberalp-Bahn.

Die Kupplung sollte also der Symmetrie der zu kuppelnden Objekte angepasst sein.

3 Symmetrische Kupplungen

3.1 Rhombendodekaeder

Die Abbildung zeigt ein Explosionsbild des Rhombendodekaeders mit seinen vier Rhombenhexaedern.

Explosionszeichnung der vier Rhombenhexaeder

In der folgenden Abbildung sind die in der Endmontage zusammenfallenden Rhomben durch grüne Linien verbunden. Wir haben sechs Paare von zu kuppelnden Rhomben, brauchen also sechs Kupplungen. Da wir nur vier Rhombenhexaeder haben, ist es bei einer simplen Ring-Haken-Kupplung nicht möglich, die sechs Ringe beziehungsweise die sechs Haken gleichmäßig aufzuteilen.

Nachbarschaftsrelationen

Keine kohärente Orientierung der Kanten

Anders formuliert: Die vier Rhombenhexaeder bilden die Eckpunkte eines Tetraeders. Es ist nicht möglich, die sechs Kanten des Tetraeders so zu orientieren, dass an jeder Ecke gleich viele Kanten auslaufen oder einlaufen. Wir müssen mit Doppelpfeilen arbeiten. Die Doppelpfeile müssen so organisiert sein, dass sie die dreizähligen Drehsymmetrien des Tetraeders respektieren.

Doppelpfeile

Damit haben wir aber auch das Prinzip der Kupplung gefunden. Die Pfeile ersetzen wir durch Bolzen (die natürlich kürzer sind als die gezeichneten Pfeile), die Pfeilspitzen markieren die Aufnahmelöcher für die Bolzen. Bolzen und Löcher sind orthogonal zu den jeweiligen Rhombenflächen.

Die Abbildung zeigt schematisch die Position von Bolzen (blau) und Loch (rot) auf einem Rhombus. Die Kupplung erinnert an die Kupplung der rhätischen Bahn und der Furka-Oberalp-Bahn.

Loch und Bolzen

Nach diesem Schema ergeben sich vier kongruente und gleich orientierte Rhombenhexaeder mit Kupplungen.

Rhombenhexaeder mit Bolzen und Löchern

Set von vier Rhombenhexaedern

Die folgende Abbildung zeigt das zusammengesteckte Rhombendodekaeder.

Assembling

Beim Zusammenfügen ergibt sich eine symmetrische simultane Zwangsbewegung der vier Teile. Es muss die „Explosion“ der Explosionszeichnung invertiert werden.

Die Löcher an der Oberfläche des Modells sind herstellungstechnisch bedingt. Man könnte auch auf der Außenseite Kupplungen anbringen.

Die Rhombenhexaeder sind aus Papierstreifen geflochten. Die Bolzen sind Reißnägel, deren Köpfe sich zwischen der Außenlage und der Innenlage des Geflechts befinden. Zur Flechttechnik siehe [Walser 1987], [Walser 1994], [Walser 2009, S. 122f]

3.2 Rhombenhexaeder allgemein

Unsere Andockkupplung mit einem Bolzen und einem Loch löst das Problem mit dem Rhombendodekaeder, ist aber nicht verallgemeinerungsfähig, da sie nicht der Symmetrie eines Rhombus entspricht. Wir können nicht um 180° drehen.

Dazu ist die Verallgemeinerung der folgenden Abbildung erforderlich.

Schema der Bolzen und Löcher

Dabei ist wesentlich, das auf allen Rhomben die Orientierung der Löcher bezüglich der Rhombendiagonalen dieselbe ist. Also bei Querformat die Bolzen links oben. Im Rhombenhexaeder der folgenden Abbildung sind allseitig Bolzen und Löcher nach diesem Schema angebracht.

Porcospino

Damit haben wir ein vielseitig verwendbares Bauelement.

3.3 Goldene Rhomben

Verwenden wir Rhomben mit dem Diagonalenverhältnis des goldenen Schnittes, können wir mit stumpfen und/oder spitzen Rhombenhexaedern das Rhombendodekaeder zweiter Art, das Rhombenikosaeder, das Rhombentriakontaeder oder auch den nachfolgenden Stern zusammenbauen. Details (allerdings ohne die Idee der Kupplungen) siehe [Walser 2009, S. 122-134].

Rhomben-Stern

Literatur

[Walser 1987] Walser, Hans: Flechtmodelle. Didaktik der Mathematik (15), 1987, 1-17

[Walser 1994] Walser, Hans: Geometrie zum Anfassen. Mathematik Lehren, Heft 65, August 1994, S. 56-59.

[Walser 2009] Walser, Hans: Der Goldene Schnitt. 5., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wußing über populärwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2009. ISBN 978-3-937219-98-1

[Walser 2013] Walser, Hans: Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wußing über populärwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2013. ISBN 978-3-937219-85-1