Hans Walser, [20120721]

Allgemeine pythagoreische Dreiecke

1        Worum geht es?

Zu einem vorgegebenen Winkel  mit  suchen wir passende Dreiecke mit .

Im Sonderfall  sind das die Ÿblichen pythagoreischen Dreiecke.

2        Grundformeln

Kosinussatz:

Wir wŠhlen nun  und berechnen:

Die so berechneten a, b, c genŸgen dem Kosinussatz, wie durch Einsetzen verifiziert werden kann. Es ist nŠmlich:

und ebenso

3        Methode

Wir wŠhlen nun speziell  mit . Auf Grund der Voraussetzung  ist dann auch . Wir haben also ein rationales Dreieck.

Nun frisieren wir a, b, c, indem wir mit dem kgV aller Nenner multiplizieren. Wir haben jetzt  und unsere Aufgabe ist im Prinzip gelšst. Als Schšnheitskorrektur dividieren wir noch durch den .

Es zeigt sich, dass wir nun jede Lšsung doppelt haben, mit vertauschten Rollen von a  und b. Daher standardisieren wir noch auf .

4        Beispiele

4.1      Rechter Winkel

FŸr den Sonderfall  erhalten wir:

 

u

v

a

b

c

3

1

4

3

5

4

1

15

8

17

5

1

12

5

13

5

2

21

20

29

6

1

35

12

37

7

1

24

7

25

7

2

45

28

53

8

1

63

16

65

8

3

55

48

73

9

1

40

9

41

9

2

77

36

85

10

1

99

20

101

10

3

91

60

109

 

Das sind die Ÿblichen pythagoreischen Dreiecke, allerdings nicht in der Ÿblichen Reihenfolge.

4.2      Winkel von 60¡ und 120¡

FŸr , also , erhalten wir:

 

u

v

a

b

c

2

1

1

1

1

3

1

8

5

7

4

1

15

7

13

5

1

8

3

7

5

2

21

16

19

6

1

35

11

31

7

1

48

13

43

7

2

15

8

13

7

3

40

33

37

8

1

21

5

19

8

3

55

39

49

9

1

80

17

73

9

2

77

32

67

9

4

65

56

61

10

1

99

19

91

10

3

91

51

79

 

Zuoberst ist das gleichseitige Dreieck.

Die Abbildung zeigt das zweite Beispiel:

8, 5, 7

FŸr , also , erhalten wir:

 

u

v

a

b

c

3

1

8

7

13

4

1

5

3

7

5

1

24

11

31

6

1

35

13

43

7

1

16

5

19

7

2

45

32

67

8

1

63

17

73

9

1

80

19

91

9

2

77

40

103

10

1

33

7

37

10

3

91

69

139

 

Die Abbildung zeig das zweite Beispiel:

5, 3, 7

4.3     

Der Winkel  ist ein alter Bekannter. Es ist der Schnittwinkel der Diagonalen im DIN-Rechteck. Es ist auch der Diederwinkel (Schnittwinkel zwischen zwei SeitenflŠchen) im Tetraeder.

FŸr  erhalten wir:

 

u

v

a

b

c

3

1

3

2

3

4

1

45

22

43

5

1

18

7

17

5

2

63

52

67

6

1

105

34

99

7

1

18

5

17

7

2

135

76

131

7

3

10

9

11

8

1

189

46

179

8

3

55

42

57

9

1

60

13

57

9

2

231

100

219

9

4

195

184

219

10

1

297

58

283

10

3

91

54

89

 

Die Abbildung zeigt das oberste Beispiel und den Link mit dem DIN-Format.

3, 2, 3. Link mit dem DIN-Format

Der Winkel  ist der stumpfe Schnittwinkel der Diagonalen im DIN-Rechteck. Es ist auch der Diederwinkel (Schnittwinkel zwischen zwei SeitenflŠchen) im Oktaeder.

FŸr  erhalten wir:

 

u

v

a

b

c

3

1

6

5

9

4

1

45

26

59

5

1

9

4

11

6

1

105

38

123

7

1

36

11

41

7

2

135

92

187

8

1

189

50

211

8

3

55

54

89

9

1

30

7

33

9

2

231

116

291

10

1

297

62

323

10

3

91

66

129

 

Die Abbildung zeigt das oberste Beispiel und den Link mit dem DIN-Format.

6, 5, 9. Link mit dem DIN-Format

Wer Lust hat, kann sich Ÿber das folgende Bild Gedanken machen.

Was steckt hinter diesem Bild?