Hans Walser, [20180929]
Alle Neune
Idee und Anregung: Rainer Kaenders & Carl Peter Fitting, Bonn
1 Worum geht es?
Spielerei im Dezimalsystem.
2 Die Siebener-Reitschule
2.1 Der Bruch
Der Bruch
(1)
hat eine Dezimalbruchentwicklung mit der Periode 142857. Wir ordnen diese Ziffern in einem Kreis an (Abb. 1). Die Anordnung ist im Gegenuhrzeigersinn.
Abb. 1: Siebener-Reitschule
2.2 Gegenźberliegende Zahlen
Gegenźberliegende Zahlen haben immer die Summe neun (Abb. 2).
Abb. 2: Summe neun
(2)
Wir kšnnen (2) entweder als drei einzelne Additionen sehen, nŠmlich
1 + 8 = 9, 4 + 5 = 9, 7 + 2 = 9
oder als eine einzige Addition:
147 + 852 = 999
2.3 Symmetrische Tripel
In der Abbildung 3 sind die beiden passenden Dreispitz-Sterne eingezeichnet.
Abb. 3: Dreispitz-Sterne
Die Summen der Zahlen an den Sternspitzen sind verschieden:
1 + 2 + 5 = 8, 4 + 8 + 7 = 19
In (3) sind diese Rechnungen dargestellt wie in der Schule:
(3)
Und jetzt kommt der Gag mit dem †bertrag.
(4)
Wir haben die beiden Spalten als eine Spalte mit zweistelligen Zahlen interpretiert und dann gerechnet:
14 + 28 + 57 = 99
Damit haben wir wieder die Neunen erhalten.
Das Karussell ist in drei Sektoren aufgeteilt worden (Abb. 4). Die Leserichtung ist im Gegenuhrzeigersinn.
Abb. 4: Sektoren
2.4 Zusammenfassung
Aus der Siebentel-Periode 142857 machen wir die beiden Rechnungen
142 + 857 = 999
und:
14 + 28 + 57 = 99
Wir erhalten nichts als Neunen.
Natźrlich ist man versucht, die Sache noch mehr aufzufŠchern:
1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27
Es klemmt. Wenn wir aber schon beim AuffŠchern sind:
1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27, 2 + 7 = 9
Und schon wieder eine Neun.
3 Ein happiges Beispiel
3.1 Der Bruch
Es ist:
(5)
Die PeriodenlŠnge ist 60. Wir zerlegen die Ziffernfolge
016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459
der Periode in Additionen mit gleichstelligen Summanden.
3.2 Zwei Summanden
Die Summanden haben je 30 Stellen.
016393442622950819672131147540
983606557377049180327868852459
––––––––––––––––––––––––––––––
999999999999999999999999999999
3.3 Drei Summanden
Die Summanden haben je 20 Stellen
01639344262295081967
21311475409836065573
77049180327868852459
––––––––––––––––––––
99999999999999999999
3.4 Vier Summanden
Die Summanden haben je 15 Stellen.
016393442622950
819672131147540
983606557377049
180327868852459
––––––––––––––––
1999999999999998
Merde pour le roi d'Angleterre. Klappt nicht. Sehen wir die Sache mal mit den †bertrŠgen an.
016393442622950
819672131147540
983606557377049
180327868852459
111111111111111
––––––––––––––––
1999999999999998
Wenn wir den vordersten †bertrag hinten einfźgen, kommt die Sache zum Stimmen (Abb. 5).
Abb. 5: Zyklische Addition
Wir kšnnen uns das so vorstellen: Wir schreiben die vier Summanden auf einen Zylinder, dessen Umfang genau der SummandenlŠnge entspricht. Und addieren.
3.5 Fźnf Summanden
Wir mźssen wieder den Trick mit der zyklischen Addition anwenden (Abb. 6).
Abb. 6: Zyklische Addition bei fźnf Summanden
3.6 Sechs Summanden
Abb. 7: Sechs Summanden
3.7 Zehn Summanden
Abb. 8: Zehn Summanden
3.8 Zwšlf Summanden
Abb. 9: Zwšlf Summanden
3.9 15 Summanden
Abb. 10: 15 Summanden
3.10 20 Summanden
ZunŠchst ist:
016
+ 393 + 442 + 622 + 950 + 819 + 672 + 131 + 147 + 540 + 983 + 606 + 557 + 377 +
049 + 180 + 327 + 868 + 852 + 459 = 9990
Wir mźssen einen †bertrag von 9 verschieben:
9 + 990 = 999
3.11 30 Summanden
Es ist:
01 + 63 + 93 + 44 + 26 + 22 + 95 + 08 + 19 + 67 + 21
+ 31 + 14 + 75 + 40 + 98 + 36 + 06 + 55 + 73 + 77 + 04 + 91 + 80 + 32 + 78 + 68
+ 85 + 24 + 59 = 1485
Wir mźssen zunŠchst einen dreistelligen †bertrag von 148 verschieben und dann weitere †bertrŠge verschieben.
148 + 5 = 153
15 + 3 = 18
1 + 8 = 9
3.12 60 Summanden
Die Summe der 60 Ziffern der Periode
016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459
ist 270. Wir mźssen einen zweistelligen †bertrag von 27 verschieben und dann einen weiteren †bertrag verschieben.
27 + 0 = 27
2 + 7 = 9
4 Ausblick
Fźr welche Dezimalbrźche erhalten wir die Neunen?
Wie lŠsst sich das beweisen?
Gilt Analoges fźr Positionssysteme mit anderen Basen?