Hans Walser, [20180212]
Affensattel
Mit Hilfe des Affensattels werden RaumfŸller konstruiert.
Die durch
(1)
beschriebene FlŠche wird als Affensattel bezeichnet (Abb. 1).
Abb. 1: Affensattel
Die anatomische Idee dahinter ist, dass ein Affe nicht nur seine beiden Beine, sondern auch seinen Schwanz unterbringen muss.
Die Gleichung (1) kann auch in der Form
(2)
geschrieben werden. Der Buchstabe bedeutet Realteil.
Der Affensattel hat bezŸglich der senkrechten (grŸnen) Koordinatenachse eine dreizŠhlige Drehsymmetrie.
Die Abbildung 2 zeigt einen WŸrfel, der auf einer Ecke steht. Der WŸrfelmittelpunkt ist im Koordinatennullpunkt.
Abb. 2: WŸrfel auf Ecke
BezŸglich der senkrechten Achse hat dieser WŸrfel ebenfalls eine dreizŠhlige Drehsymmetrie.
Die Abbildung 3 zeigt andere Positionen des WŸrfels bezŸglich des Koordinatensystems. Der WŸrfel wurde um die senkrechte Koordinatenachse schrittweise um 15¡ gedreht.
Abb. 3: Andere Positionen
Wir kšnnen den auf der Ecke stehenden WŸrfel mit der AffensattelflŠche volumenmŠ§ig halbieren.
Abb. 4: Halbieren mit Affensattel
Das GegenstŸck, also die weggeschnittene HŠlfte des WŸrfels, ist ungleichsinnig kongruent zur verbleibenden WŸrfelhŠlfte. Das liegt daran, dass die beiden HŠlfte punktsymmetrisch zum Ursprung liegen. Punktsymmetrische Figuren im Raum sind ungleichsinnig kongruent.
Die Abbildung 5 illustriert den Sachverhalt fŸr das erste Beispiel der Abbildung 4.
Abb. 5: GegenstŸck
Die Abbildung 6 zeigt die letzte Position der Abbildung 5 vergrš§ert.
Abb. 6: Die beiden WŸrfelhŠlften
Den unteren halben WŸrfel der Abbildung 6 passen wir so in ein Koordinatensystem, dass die unterste Ecke in den Nullpunkt und die WŸrfelkanten auf die Achsen zu liegen kommen (Abb. 7).
Abb. 7: Einpassen ins Koordinatensystem
Wir ergŠnzen die Figur durch Spiegelungen an den Koordinatenebenen (Abb. 8).
Abb. 8: ZwšlffŸ§ler
Im Folgenden werden wir die Figur einheitlich fŠrben (Abb. 9).
Abb. 9: Monochrome Darstellung
Mit dieser Figur kann der Raum lŸckenlos und Ÿberlappungsfrei gepackt werden. Die Abbildung 10 illustriert die ersten Schritte.
Abb. 10: Erste Schritte der Packung
Die Abbildung 11 zeigt einen gepackten Kubus, die Abbildung 12 eine Pyramide.
Abb. 11: Kubus
Abb. 12: Pyramide
Die Abbildungen 13-16 zeigen das analoge Vorgehen mit einer Variante.
Abb. 13: Variante
Abb. 14: Einpassen ins Koordinatensystem
Abb. 15: RaumfŸller
Abb. 16: Kubus
Abb. 17: Pyramide
Abb. 18: Symmetrische Variante
Abb. 19: Einpassen ins Koordinatensystem
Abb. 20: RaumfŸller
Der RaumfŸller hat nun dieselben Symmetrien wie der WŸrfel.
Abb. 21: Kubus
Abb. 22: Pyramide