Hans Walser, [20180212]

Affensattel

1     Worum geht es?

Mit Hilfe des Affensattels werden RaumfŸller konstruiert.

2     Der Affensattel

Die durch

 

                                                                                                                   (1)

 

 

beschriebene FlŠche wird als Affensattel bezeichnet (Abb. 1).

Abb. 1: Affensattel

Die anatomische Idee dahinter ist, dass ein Affe nicht nur seine beiden Beine, sondern auch seinen Schwanz unterbringen muss.

Die Gleichung (1) kann auch in der Form

 

                                                                                                               (2)

 

 

geschrieben werden. Der Buchstabe  bedeutet Realteil.

Der Affensattel hat bezŸglich der senkrechten (grŸnen) Koordinatenachse eine dreizŠhlige Drehsymmetrie.

3     Der WŸrfel auf der Ecke

Die Abbildung 2 zeigt einen WŸrfel, der auf einer Ecke steht. Der WŸrfelmittelpunkt ist im Koordinatennullpunkt.

           

Abb. 2: WŸrfel auf Ecke

BezŸglich der senkrechten Achse hat dieser WŸrfel ebenfalls eine dreizŠhlige Drehsymmetrie.

Die Abbildung 3 zeigt andere Positionen des WŸrfels bezŸglich des Koordinatensystems. Der WŸrfel wurde um die senkrechte Koordinatenachse schrittweise um 15¡ gedreht.

Abb. 3: Andere Positionen

4     Halbierung des WŸrfels

Wir kšnnen den auf der Ecke stehenden WŸrfel mit der AffensattelflŠche volumenmŠ§ig halbieren.

Abb. 4: Halbieren mit Affensattel

5     Ungleichsinnige Kongruenz

Das GegenstŸck, also die weggeschnittene HŠlfte des WŸrfels, ist ungleichsinnig kongruent zur verbleibenden WŸrfelhŠlfte. Das liegt daran, dass die beiden HŠlfte punktsymmetrisch zum Ursprung liegen. Punktsymmetrische Figuren im Raum sind ungleichsinnig kongruent.

Die Abbildung 5 illustriert den Sachverhalt fŸr das erste Beispiel der Abbildung 4.

Abb. 5: GegenstŸck

Die Abbildung 6 zeigt die letzte Position der Abbildung 5 vergrš§ert.

Abb. 6: Die beiden WŸrfelhŠlften

6     Einpassen ins Koordinatensystem

Den unteren halben WŸrfel der Abbildung 6 passen wir so in ein Koordinatensystem, dass die unterste Ecke in den Nullpunkt und die WŸrfelkanten auf die Achsen zu liegen kommen (Abb. 7).

Abb. 7: Einpassen ins Koordinatensystem

7     ZwšlffŸ§ler

Wir ergŠnzen die Figur durch Spiegelungen an den Koordinatenebenen (Abb. 8).

Abb. 8: ZwšlffŸ§ler

Im Folgenden werden wir die Figur einheitlich fŠrben (Abb. 9).

Abb. 9: Monochrome Darstellung

8     RaumfŸller

Mit dieser Figur kann der Raum lŸckenlos und Ÿberlappungsfrei gepackt werden. Die Abbildung 10 illustriert die ersten Schritte.

Abb. 10: Erste Schritte der Packung

Die Abbildung 11 zeigt einen gepackten Kubus, die Abbildung 12 eine Pyramide.

Abb. 11: Kubus

Abb. 12: Pyramide

9     Variante

Die Abbildungen 13-16 zeigen das analoge Vorgehen mit einer Variante.

Abb. 13: Variante

Abb. 14: Einpassen ins Koordinatensystem

Abb. 15: RaumfŸller

Abb. 16: Kubus

Abb. 17: Pyramide

10  Symmetrische Variante

Abb. 18: Symmetrische Variante

Abb. 19: Einpassen ins Koordinatensystem

Abb. 20: RaumfŸller

Der RaumfŸller hat nun dieselben Symmetrien wie der WŸrfel.

Abb. 21: Kubus

Abb. 22: Pyramide