Hans Walser, [20140504]

Additionstheoreme

Ausarbeitung einer Idee von R. Sch., C.

1     Worum geht es?

FŸr gerades n gilt:

 

 

FŸr ungerades n gilt:

 

 

2     Eine Schlie§ungsfigur

Wir zeichnen zwei Geraden, die sich unter einem Winkel von  schneiden. Auf einer der beiden Geraden wŠhlen wir einen Startpunkt  und tragen die Einheitsstrecke abwechselnd auf den beiden Geraden ab. Dann ergibt sich eine Schlie§ungsfigur mit  (Hohenberg, 1979), (Walser, 1988).

Die Abbildung 1 zeigt exemplarisch fŸr gerades n die Situation fŸr .

Abb. 1: n = 6

 

Die Abbildung 2 zeigt exemplarisch fŸr ungerades n die Situation fŸr .

Abb. 2: n = 7

 

Wir sehen Unterschiede:

FŸr gerades n ist die Figur punktsymmetrisch. Das Symmetriezentrum ist der Schnittpunkt der beiden Geraden. Die konvexe HŸlle des Streckenzuges ist ein Parallelogramm.

FŸr ungerades n ist die Figur achsensymmetrisch. Die Symmetrieachse ist die eine Winkelhalbierende der beiden Geraden. Die konvexe HŸlle des Streckenzuges ist ein gleichschenkliges Trapez.

Es ist daher eine Fallunterscheidung bezŸglich der ParitŠt von n erforderlich.

Wir verwenden aber in beiden FŠllen den Sonderfall, dass die konvexe HŸlle ein Rechteck ist.

3     Gerades n

Die Abbildung 3 zeigt den Sonderfall mit einem Rechteck als konvexer HŸlle des Streckenzuges.

Abb. 3: Sonderfall fŸr n = 6

 

Das Rechteck hat die Hšhe 1 und die LŠnge s:

 

Mit einigen WinkelŸberlegungen erhalten wir fŸr die Seiten des Polygonzuges der Reihe nach die Steigungswinkel  gegenŸber der BasislŠnge des Rechtecks. Orthogonalprojektion auf diese BasislŠnge liefert (der letzte Summand ist de luxe und steht nur der €sthetik halber da):

 

 

Wegen  ergibt sich:

 

 

4     Ungerades n

Die Abbildung 4 zeigt wiederum den Sonderfall mit einem Rechteck als konvexer HŸlle des Streckenzuges. In diesem Sonderfall ist der Startpunkt  der Schnittpunkt der beiden Geraden.

Abb. 4: Sonderfall fŸr n = 7

 

Das Rechteck hat die Hšhe 1 und die LŠnge s:

 

Mit einigen WinkelŸberlegungen erhalten wir fŸr die Seiten des Polygonzuges der Reihe nach die Steigungswinkel  gegenŸber der BasislŠnge des Rechtecks. Orthogonalprojektion auf diese BasislŠnge liefert:

Wegen  ergibt sich:

 

 

Damit sind die Additionstheoreme des ersten Abschnittes bewiesen.

5     Link mit regelmŠ§igen Vielecken

Die Figur der Abbildung 3 lŠsst sich in ein regelmŠ§iges Zwšlfeck einpacken (Abb. 5). Die Seiten des Polygonzuges sind parallel zu den Zwšlfeckseiten.

Abb. 5: Zwšlfeck

 

Entsprechend lŠsst sich die Figur der Abbildung 4 in ein regelmŠ§iges 14-Eck einpacken (Abb. 6).

Abb.  6: 14-Eck

 

Damit ergeben sie wohl einfachere Beweismšglichkeiten fŸr unsere Summen und analoge Summen mit Sinuswerten, vgl. (Gštzl und Walser, 2012).

 

Literatur

Gštzl, Dieter und Walser, Hans (2012): Abstandssummen am regelmŠ§igen n-Eck. MNU. Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 65/8 (1. 12. 2012), 465-467. ISSN 0025-5866.

Hohenberg, Fritz (1979): Gleichseitige Polygone, deren Ecken abwechselnd auf zwei Geraden liegen. Sitzungsberichte der …sterreichischen Akademie der Wissenschaften, Mathematisch naturwissenschaftliche Klasse, Abteilung II, 188. Band, 385-405.

Walser, Hans (1988): Ein Schliessungssatz der Elementargeometrie. Elemente der Mathematik (43), 161-169.