Hans Walser, [20090124a]

Abnehmende Zickzacklinien

Anregung: R. E.

1        Fragestellung

Wie verhalten sich die beiden Zickzacklinien?

 

Harmonisch abnehmende Zickzacklinie

 

Exponentiell abnehmende Zickzacklinie

 

2        Bearbeitung

2.1      Harmonisch abnehmende Zickzacklinie

Wir fźhren ein Koordinatensystem und Bezeichnungen gemŠ§ Arbeitsfigur ein. Gegeben seien die drei Punkte ,  und  sowie die Gerade q mit der Gleichung . Die Gerade p ist die y-Achse.

 

Arbeitsfigur

 

Wir verbinden  mit  (Gerade ) und schneiden mit q, das gibt . Nun schneiden wir  (Gerade ) mit p und erhalten . Schnitt von  mit q gibt  und so weiter.

Wir erhalten dann der Reihe nach: , , , , ...  . Allgemein gilt:

 

Die y-Koordinaten bilden abnehmende harmonische Folgen.

Beweis induktiv:

(I)  ist gegeben.

(II) Aus  erhalten wir fźr die Gerade  die Gleichung . Schnitt mit der Geraden  ergibt . Die Gerade  hat dann die Gleichung . Schnitt mit der Geraden  liefert . Ł

2.2      Exponentiell abnehmende Zickzacklinie

Wir fźhren wiederum ein Koordinatensystem und Bezeichnungen gemŠ§ Arbeitsfigur ein. Die Nummerierung der Punkte  und  beginnt aus Šsthetischen Grźnden mit Null. Gegeben seien die drei Punkte ,  und  sowie die senkrechte Gerade q mit der Gleichung . Die Gerade p ist wiederum die y-Achse.

 

Arbeitsfigur

 

Wir verbinden  mit  (Gerade ) und schneiden mit q, das gibt . Nun schneiden wir  (Gerade ) mit p und erhalten . Schnitt von  mit q gibt  und so weiter.

Wir erhalten der Reihe nach:  (wie im oberen Fall der harmonischen Zickzacklinie),  (ebenfalls wie oben), , , ...  . Allgemein gilt:

 

Die y-Koordinaten sind geometrische Folgen mit dem Quotienten ; wir haben also einen exponentiellen Zerfall.

Beweis induktiv:

(I) , also , ist gegeben.

(II) Auf Grund der StrahlensŠtze ist , also . Weiter ist , also . Somit ist .  Aus  ergibt sich daraus . Ł