Hans Walser, [20240105]
Abgestumpftes Kuboktaeder
Idee und Anregung: Wilfried Dutkowski, Bonn
1 Worum es geht
Dynamische Herleitung des abgestumpften Kuboktaeders.
Das abgestumpfte Kuboktaeder ist kein archimedischer Körper.
2 Das Kuboktaeder
Das Kuboktaeder entsteht aus einem Würfel (Abb. 1) durch Abschneiden der acht Würfelecken bis zu den anschließenden Kantenmitten (Abb. 2).
Abb. 1: Würfel
Abb. 2: Ecken abschneiden
Die Ecken werden orthogonal zu den Raumdiagonalen des Würfels abgeschnitten. Die Schnittfiguren sind gleichseitige Dreiecke.
Die ursprünglichen Würfelseiten werden zu Achtecken. Diese sind gleichwinklig (Außenwinkel 45°), aber in der Regel nicht gleichseitig.
Die Abbildungen 3 und 4 zeigen den Sonderfall, wo die Achtecke gleichseitig und damit regelmäßig sind.
Abb. 3: Regelmäßige Achtecke
Abb. 4: Frontale Sicht
Schließlich werden die Achtecke wieder zu Quadraten (Abb. 5). Wir haben nun das Kuboktaeder.
Abb. 5: Kuboktaeder
Das Kuboktaeder ist ein sogenannter archimedischer Körper. Die Seitenflächen sind gleichseitige Dreiecke und Quadrate.
Die Namensgebung „Kuboktaeder“ können wir uns so erklären: Wenn wir die roten Seitenflächen ausdehnen, entsteht ein Würfel (Kubus), wenn wir die gelben Seitenflächen ausdehnen, ein Oktaeder. Wir haben also einen Verschnitt von Würfel und Oktaeder. Dies gilt allerdings auch schon für alle Zwischenstufen der Abbildung 2.
3 Abstumpfen des Kuboktaeders
Nun schneiden wir beim Kuboktaeder die Ecken ab, wiederum orthogonal zu den Mittelpunktsdiagonalen (Abb. 6). Da die Ecken aus zwei gleichseitigen Dreiecken, also mit 60°-Flächenwinkeln, und zwei Quadratecken, also mit 90°-Flächenwinkeln, gebildet werden, sind die Schnittfiguren beim Abschneiden keine regelmäßigen Vielecke. Diese Schnittfiguren sind Rechtecke mit dem Seitenverhältnis √2 : 1, also wie beim Papier im DIN-Format. Die Abbildung 7 zeigt die frontale Sicht auf ein solches Rechteck.
Abb. 6: Abschneiden der Kuboktaeder-Ecken
Abb. 7: Frontale Sicht auf ein Rechteck
Die roten Quadrate werden zu gleichwinkligen Achtecken. In einem Sonderfall sind die Achtecke sogar regelmäßig (Abb. 8 und 9). Die gelben Sechsecke sind in dieser Situation aber nicht regelmäßig.
Abb. 8: Regelmäßige Achtecke
Abb. 9: Frontale Sicht auf ein regelmäßiges Achteck
Die gelben Dreiecke werden zu gleichwinkligen Sechsecken. In einem Sonderfall (aber nicht im gleichen Sonderfall wie bei den Abbildungen 8 und 9) werden die Sechsecke regelmäßig (Abb. 10 und 11).
Abb. 10: Regelmäßige Sechsecke
Abb. 11: Frontale Sicht auf ein regelmäßiges Sechseck
Die Abbildung 12 zeigt schließlich das abgestumpfte Kuboktaeder. Wegen der zwölf Rechtecke auf der Oberfläche ist es kein archimedischer Körper.
Abb. 12: Abgestumpftes Kuboktaeder