1 Worum geht es?

Problematik der Zerlegungsbeweise.

Ein Uraltklassiker und eine Version auf Schienen.

2 Quadrat und Rechteck

Die Abbildung 1 zeigt in einem Karoraster ein Quadrat der Seitenlänge 8 und ein Rechteck mit den Seiten 5 und 13.

Abb. 1: Quadrat und Rechteck

Das Quadrat hat den Flächeninhalt 8² = 64, das Rechteck den Flächeninhalt 5×13 = 65.

Bemerkung: die Zahlen 5, 8, 13 sind aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen. In unserem Kontext ist das aber irrelevant.

3 Zerlegungsgleichheit

Die Abbildungen 2 und 3 illustrieren die Zerlegungsgleichheit von Quadrat und Rechteck. Das blaue und das goldene Teilstück müssen dabei um 90° gedreht werden.

Abb. 2: Zerlegungsgleichheit

Abb. 3: Vom Quadrat zum Rechteck

Die Abbildungen 4 und 5 zeigen eine weitere Version der Zerlegungsgleichheit von Quadrat und Rechteck. Es läuft wie auf Schienen.

Abb. 4: Zerlegungsgleichheit

Abb. 5: Vom Quadrat zum Rechteck

4 Folgerungen

Aus der Zerlegungsgleichheit folgt die Flächengleichheit. Es ist also:

64 = 65

Durch Addition von 1 auf beiden Seiten erhalten wir:

65 = 66

Somit ist:

64 = 65 = 66

Mit vollständiger Induktion können wir nun beweisen, dass überhaupt alle natürlichen Zahlen gleich sind. Daraus folgt das Theorem:

Es gibt nur eine natürliche Zahl.

5 Des Pudels Kern

Die Abbildungen 6 und 7 zeigen die Figuren der Abbildungen 1 und 3 ohne die fetten Randlinien. Im Rechteck ist jeweils eine Lücke schwarz markiert, welche flächenmäßig das zusätzliche Karoquadrat ausmacht.

In der Abbildung 6 ist die Lücke ein Parallelogramm.

Abb. 6: Schwarze Lücke

In der Abbildung 7 ist die Zickzack-Lücke insgesamt fünf Karoeinheiten hoch und in horizontaler Richtung eine Fünftel-Karoeinheit breit.

Abb. 7: Schwarze Lücke

Wir können im Rechteck der Abbildung 7 das grüne und das blaue Flächenteil um eine Fünftel-Karoeinheit nach links schieben. Dann verschwindet die Lücke.

Abb. 8: Zerlegungs- und Flächengleichheit

Das Rechteck ist nun nur noch 12.8 Karoeinheiten lang. Sein Flächeninhalt ist 5×12.8 = 64. Die Welt ist wieder in Ordnung.