Hans Walser, [20120121]

120¡-Dreieck

1        FlŠchensatz

Wir beginnen mit einem 120¡-Dreieck (wei§, im Zentrum) und ergŠnzen gemŠ§ Abbildung 1.

Abb. 1: Blau = Rot + GrŸn

Es gilt der FlŠchensatz:

Blau = Rot + GrŸn

Das grŸne Dreieck ist kongruent zum wei§en Startdreieck.

2        Beweise des FlŠchensatzes

2.1      Kosinussatz

FŸr das gleichseitige blaue Dreieck haben wir den FlŠcheninhalt . FŸr die gleichseitigen roten Dreiecke haben wir die FlŠcheninhalte  und . Das grŸne Dreieck hat den FlŠcheninhalt .

Andererseits gilt im wei§en Dreieck nach dem Kosinussatz:

Beidseitige Multiplikation mit  liefert die Aussage des FlŠchensatzes.


2.2      Pythagoras

Durch geeignete Zerlegungen kšnnen wir die Pythagoras-Situation mit aufgesetzten gleichseitigen Dreiecken (statt Quadraten) erreichen. Dies geht auf zwei Arten.

2.2.1     Erste Zerlegung

Abb. 2: Erste Zerlegung

2.2.2     Zweite Zerlegung

Abb. 3: Zweite Zerlegung

Literatur

[Walser 2010]   Walser, Hans: Ein FlŠchensatz. In: Katja KrŸger und Philipp Ullmann (Hg.): Von Geometrie und Geschichte in der Mathematikdidaktik. Festschrift zum 65. Geburtstag von Lutz FŸhrer. EichstŠtt: Polygon-Verlag 2010. ISNB: 978-3-928671-60-6. S. 41-52.