Jo Niemeyer, Hans Walser, [20070611a]

Goldener Schnitt

1        Konstruktion mit drei Rechtecken

Wir setzen drei beliebige kongruente Rechtecke zu einem Dreieck zusammen gemŠ§ Figur. Mit Hilfe eines Kreises kommen wir zum Goldenen Schnitt.

Drei kongruente Rechtecke

Es geht auch ăhochkantŇ.

Hochkant


2        Beweis

Wir vereinfachen die Figur: Einem gleichschenkligen Dreieck setzen wir auf einem Schenkel ein Rechtreck auf, dessen andere Seite die BasislŠnge des Dreieckes hat. Der kreis um die Dreiecksspitze mit der Rechtecksdiagonalen als Radius fźhrt zum Goldenen Schnitt.

Vereinfachte Figur. Beweisfigur

Wir normieren die BasislŠnge des gleichschenkligen Dreieckes auf 2. Die Hšhe h ist variabel. Dann gilt:

 

 

Wir sehen, dass die Hšhe h ăherausfŠlltŇ. Es ist dann:

 

Der Punkt B teilt also die Strecke AC im VerhŠltnis des Goldenen Schnittes.

3        SonderfŠlle

Diese Konstruktion enthŠlt als SonderfŠlle einige klassische Konstruktionen.

3.1      Halbes Quadrat

Fźr  erhalten wir die klassische Konstruktion, welche in einem Quadrat mit einer Seitenmitte arbeitet. Das gleichschenklige Dreieck ist zu einer Strecke mit Mittelpunkt degeneriert.

Halbes Quadrat

3.2      George Odom

Fźr  ergibt sich die Konstruktion von George Odom im gleichseitigen Dreieck (kopfstehend).

Figur von George Odom

Die Situation lŠsst sich auch in ein regelmŠ§iges Sechseck einbetten.

Sechseck. Minimalkonstruktion

3.3      Halbes Quadrat und Rechteck im DIN-Format

Hier ist .

Halbes Quadrat und DIN-Rechtecke

Das passt in ein regelmŠ§iges Achteck.

Achteck. Minimalkonstruktion

3.4      Gleichseitiges Dreieck und Quadrat

Fźr  erhalten wir die Figur mit einem gleichseitigen Dreieck und einem Quadrat.

Gleichseitiges Dreieck und Quadrat

Die Figur passt in ein regelmŠ§iges Zwšlfeck.

Zwšlfeck. Minimalkonstruktion